这个变限积分的一次导数怎么求?

Question

F(x)=(x-t)(e^(t^2)-1)dt 积分符号省略了,下限是0,上线是x,第二个括号里那个是e的t方次减1,关键是积分内出现x和t混在一起的时候怎么求导

Answer 1

首先这是一个含参积分,因为积分变量是t,所以在积分中我们就要提出参数x,所以需要将原式化为如下形式:

F(x)=∫(x-t)e^(t^2)dt-∫(x-t)dt
=x∫e^(t^2)dt - ∫te^(t^2)dt -x∫dt +∫tdt

下面这样就可以对x求导了

F`(x) = ∫e^(t^2)dt + xe^(x^2) - xe^(x^2)
-2x + x
=∫e^(t^2)dt - x
一阶导数就求完了 其中所有积分符号都是（0到x）

如果要继续往下求二阶导数 就得到

F``(x) = e^(x^2) - 1
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