第1个回答 2010-08-04
【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。
例1、设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B. C. D.
解：由 知, ,所以 ,故选C.
点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求解。
例2、已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是( )
A、 B、 C、 D、
解：取a＝－3，b＝2，由（A）（B）（D）都错，故（C）。
点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这里a，b没有说明符号，注意不要错用性质。
考点二：一元二次不等式及其解法
【内容解读】会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式．
（1）用图象法解一元二次不等式
教材中在研究一元二次不等式的解法时，是结合二次函数的图象，利用对应的一元二次方程的解得出的，所以我们学习一元二次不等式的解法时，应从二次函数图象出发加以理解．
（2）弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系
二次函数 是研究自变量x与函数值y之间的对应关系，一元二次方程的解就是自变量为何值时，函数值 的这一情况；而一元二次不等式的解集是自变量变化过程中，何时函数值 （ ）或 （ ）的情况．一元二次方程 的解对研究二次函数 的函数值的变化是十分重要的，因为方程的两根 是函数值由正变负或由负变为正的分界点，也是不等式解的区间的端点．学习过程中，只有搞清三者之间的联系，才能正确认识与理解一元二次不等式的解法．
【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。
例3、不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
解：原不等式可化为x2－x＞0，即x（x－1）＞0，所以x＜0或x＞1，选（D）．
点评：这是一道很简单的一元二次不等式的试题，只要知道它的解法即可．
例4、“ ”是“ ”的什么条件……（ ）
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由 得：－2＜x＜3，
－2＜x＜2成立，则－2＜x＜3一定成立，反之则不一定成立，所以，选（A）。
点评：本题是不等式与充分必要条件结合的综合考查题，先解出不等式的解集来，再由充分必要条件的判断方法可得。
例5、不等式 的解集为 ．
解：原不等式变为 ，由指数函数的增减性，得：
，所以填： 。
点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。
例6、已知集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围．
解： ．
设 ，它的图象是一条开口向上的抛物线．
（1）若 ，满足条件，此时 ，即 ，
解得 ；
（2）若 ，设抛物线与 轴交点的横坐标为 ，
且 ，欲使 ，应有 ，
结合二次函数的图象，得
即 解得 ．
综上可知 的取值范围是 ．
点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。
考点三：简单的线性规划
【内容解读】了解二元一次不等式（组）表示的平面区域和线性规划的意义；了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，以提高解决实际问题的能力．
生产实际中有许多问题都可以归纳为线性规划问题．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小．
【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能力。
例7、若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从－2连续变化到1时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 ( )A． B．1 C． D．5
解：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形。
（阴影部分面积比1大，比 小,故选C,不需要算出来）
点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一，如果区域是不规节图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可。
例8、若变量x,y满足 ，则z=3x+2y的最大值是 ( )
A．90 B. 80 C. 70 D. 40
解:做出可行域如图所示.目标函数化为：y＝－ ，令z＝0，画y＝－ ，及其平行线，如右图，当它经过两直线的交点时，取得取大值。
解方程组 ,得 .
所以 ,故答C.
点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z＝0，画它的平行线，看y轴上的截距的最值，就是最优解。
例9、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元，由题意得
目标函数为 ．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线 ，
即 ．
平移直线 ，从图中可知，当直线 过 点时，目标函数取得最大值．
联立 解得 ．
点 的坐标为 ．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
点评：用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一。
考点四：基本不等关系
【内容解读】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。
利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：
（1）当 都为正数，且 为定值时，有 （定值），当且仅当 时，等号成立，此时 有最小值；
（2）当 都为正数，且 为定值时，有 （定值），当且仅当 时，等号成立，此时 有最大值．
创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点．
【命题规律】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。
例10、已知 ，且 ，则 的最大值是 ．
解： ，当且仅当x=4y= 时取等号.
点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。
例11、已知 （ ）
(A) (B) (C) (D)
解：由 ,且 ，∴ ，
∴ 。
点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。
例12、已知 ， ，则 的最小值 ．
解：由 得 ，
代入 得 ，当且仅当 ＝3 时取“＝”．
点评：本小题考查二元基本不等式的运用．题目有有三个未知数，通过已知代数式，对所求式子消去一个未知数，用基本不等式求解。
考点五：绝对值不等式
【内容解读】掌握绝对值不等式｜x｜＜a，｜x｜＞a（a＞0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。
【命题规律】本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。
例13、“|x－1|＜2”是“x＜3”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
解：由|x－1|＜2得－1＜x＜3，在－1＜x＜3的数都有x＜3，但当x＜3时，不一定有－1＜x＜3，如x＝－5，所以选（A）．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件必要条件的解法，可以用特殊值法来验证，充分性与必要性的成立。
例14、不等式 的解集为( )
（A） （B） （C） （D）
解：∵ ∴ 即 ， ，
∴ 故选A；
点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法。
考点六：不等式的综合应用
【内容解读】用不等式的性质、基本不等式、一元二次不等式等内容解决一些实际问题，如求最值，证明不等式等。
【命题规律】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。
例15、如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 (单位:米)的矩形,上部是斜边长为 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.
（Ⅰ）求 的关系式，并求 的取值范围；
（Ⅱ）问 分别为多少时用料最省?
解：（Ⅰ）由题意得：
4分
（Ⅱ）设框架用料长度为 ，
则
当且仅当 满足
答：当 米， 米时，用料最少.
点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解题方法。
例16、某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备 年的年平均污水处理费用 （万元）；
（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水
处理设备？
解：（1）
即 （ ）；
（2）由均值不等式得：
（万元）
当且仅当 ，即 时取到等号．
答：该企业10年后需要重新更换新设备．
点评：本题又是基本不等式的一个应用，第一问求出函数关系式是关键，第二问难度不大。
考点七：不等式的证明
【内容解读】证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．
【命题规律】不等式的证明多以解答题的形式出现，属中等偏难的试题。
例17、已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
证明：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )
= a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)
= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
点评：作差相减法是证明不等式的常用方法之一，通过作差比较差的结果的符号是大于0还是小于0，另外，作商也是经常使用的方法。
例18、已知 ，求证
证明：只需证：
即证：
成立
原不等式成立.
点评：用分析法证明不等式也是常用的证明方法，通过分析法，能够找到证明的思路。
例19、已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx. ○1
(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，不等式①成立；
（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx2>0.
于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）k•(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.
综上所述，所证不等式成立.
(Ⅱ)证：当
而由（Ⅰ），
（Ⅲ）解：假设存在正整数 成立，
即有（ ）+ ＝1. ②
又由（Ⅱ）可得
（ ）+
+ 与②式矛盾，
故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.
故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；
当n=1时，3≠4，等式不成立；
当n=2时，32+42＝52，等式成立；
当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；
当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；
当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.
综上，所求的n只有n=2,3.
点评：本题考查数学归纳法、不等式的基本、反证法等内容，难度较大。