（附加题）已知函数f（x）=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f（sinθ）≤0...

Question

（附加题）已知函数f（x）=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0． （1）求p、q之间的关系式； （2）求p的取值范围； （3）如果f（sinθ+2）的最大值是14，求p的值，并求此时f（sinθ）的最小值．

Answer 1

解：（1）当θ∈R时，-1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，
由已知f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0可知，
对于函数f（x），当-1≤x≤1时，f（x）≤0；当1≤x≤3时，f（x）≥0；
且f（x）的一个根为1，令f（x）另外一根为a，则两根之和1+a=-p，
所以另一根为a=-P-1，
两根之积为1×a=-p-1=q，
所以p，q关系为-p-1=q，即1+p+q=0 　 （3分）
（2）由题意知任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0，
可知
f（1）=0
又因为要满足f（sinθ）≤0，
所以
f（-1）≤0，
故有对称轴x=-
p
2
≤0
解得P≥0．
（6分）
（3）根据f（x）的函数的图象可知，
当1≤x≤3时，f（x）为增函数，所以x=3时，f（x）取得最大值
∴f（3）=9+3p+q=14，
∴9+3p-p-1=14，则p=3，q=-4，
得到f（x）=x2+3x-4，
可知，当-1≤x≤1时，f（x）为增函数，
当sinθ=-1时，f（sinθ）取得最小值为-6．