第1个回答 2022-10-17
成书于公元前一世纪的《九章算术》是我国最重要的数学经典，它集先秦到西汉数学知识之大成，集中体现了当时中国数学领域的最高发展水平。全书以计算为中心，基本上采取算法统率应用问题的形式。它的许多成就居世界领先地位，对中国后世的数学发展和数学教育产生了深远的影响，奠定了此后中国数学居世界前列千余年的基础。《九章算术》成书后，注家峰起，并有诸多创造。魏晋时期数学泰斗刘徽的《九章算术》注贡献最大，影响深远。《九章》及其历代注释者在数学教育领域，内有许多值得我们学习的重要内容和见解。一般地说，《九章》并非当时的一本数学启蒙教育著作，其内容远远超过了今天小学六年的教学要求，但随着社会的长足进步和数学科学的迅速发展，前期的高深内容，到后期也许会成为大众化的基本内容。《九章》中的一些算术内容，对照今天小学数学的教学大纲，就已经成为小学高年级教学的重要内容。《九章》中所体现一些数学思想和方法对小学生也具有重要启迪和借鉴作用。现对此进行归纳，以便于教师在教学中认识和理解： 1.十进位置值制记数法 我国是世界上最早产生并确立完善的十进位置值记数法的国家。早在四五千年前就有了数目字，商朝已掌握了3万以内十进数目，以位置制记录，这种记数法比古巴比伦的60进制、玛雅人的20 进制、罗马人的5 - 10进制以及古埃及和希腊的十进非位置制优越得多。中国的十进位置制记数法被马克思誉为人类文明进程中 "最美妙的发明之一"。刘徽在此基础上创造了十进小数，外国直到14、15 世纪才出现十进小数，小数点直至17世纪才开始使用。 2.计算工具的发明 算筹是中国古代数学的一种独特的计算工具，"算术" 的意义即是运用算筹的技术，这恰当概括了中国古代数学使用算器、以算为主的特点。《九章》是以算筹为算具的数学教科书，算筹作为当时世界最灵巧的计算工具，使用起来既方便又准确，成为在中国历史上延续了1500年以上的科学传统。元朝以后发展的珠算是筹算制的发展、改革和继续。教师应认识筹算和珠算在世界数学发展史中的地位和作用，并具体在教学中发挥其独特的教育功能。中国的筹算在没有形成完备的口诀之前，主要是操作和摆数，筹算的这一特点，决定了其传授过程中最简便、最直接的方法就是 "做中学"，这特别适合于儿童以演示、操作指导为主的教学方法，符合儿童动作思维的心理特点，加之中国的数学歌诀有着悠久的历史，利于兼用 "唱"、 "游" 式的教学方法。数学歌诀的流行和不断发展，对算法和算具的不断改进，不仅推动了小学数学教育的发展，而且也直接影响着珠算的产生和发展。作为中国文化宝库中 "货真价实" 的珍品 -- 珠算和算盘，既是一种优越的计算工具，又是一种好的教具和学具，相比于外国用计算板、计算块及小棒认识数和计算数，能够更好地起到从具体到抽象的中介作用，有助于学生形成数位须序及数位大小等清晰的表象，从而提高学生认识数的能力。正因为珠算的特殊价值和作用，在电子技术高度发达的现代商业圈中。在我国、日本及其他东南亚国家、珠算仍盛行不衰。此外，西方世界教育人士认为珠算在数学教育中有其不能偏废的特殊意义。 3.分数四则运算及其应用 《九章》中的分数知识 (包括约分、通分和加减乘除法则) 已是当时世界上最系统、最完备的分数理论。在方田章中已有明确的分数运算法则，其他各章还有很多分数应用题。 a)分数加减法 分数加法称为合分；分数减法称为减分。其法则为：以分数分子、分母交叉相乘，乘积相加减后的结果作为 " 实"，以分母相乘作为 "法"，"实如法而一"，用今天的符号表示就是 。 如方田章第8题 。这里用到了通分，但没有用到最小公分母，而是相加减后再约分，显得比较繁琐。少广章则进了一步，其程序可以求出较小的公倍数，有的甚至就是最小公倍数。 b)分数乘除法 分数乘法称为乘分，其法则是：以分母的乘积为分母，以分子的乘积为分子，同今天方法一样： 。分数除法称为经分，其法则是把实和法通分，然后让分子相除： ；后来刘徽又补充了一个更为简便的法则：将法的分母、分子颠倒，与实相乘： ，这就是今天小学数学教材中的颠倒相乘。 c)分数约分法则 先进行观察，若分子、分母都是偶数，则先除以2，否则将分子、分母 "以少减多，更相减损"，最后得到 " 等数"，此为原分子、分母的最大公约数。用等数约之，即把数化简了。这种求等数的方法与欧几里得求最大公约数的方法是一致的，现代算术教科书中的辗转相除法即由此而来。应该指出，古人的计算方式是筹算而不是上述的现代笔算，例如，方田章第6问约简 ，先用筹算求得 "等数" 7，以7除分子、分母，得最简分数 以上是世界上最早的分数运算法则。大约15世纪欧洲才通行分数算法，印度到七世纪才有与中国相同的分数四则运算法则。了解我国古代的分数理论及其成就，教师可以从中吸取营养，来丰富自己的教学是很有益的，特别是分数乘法和除法法则的理由对今天小学教学仍有重要的指导意义。历史上的分数概念及其运算的产生都先于小数，中外一理。而在教学顺序上则小数先于分数，这是由于小数运算接近整数，较分数方便。安排教学程序则以可接受性优先，教师应心中有数。 4.各种比例算法 《九章》粟米中的今有术，是完整的比例算法：已知所有数、所有率和所求率，则 所求数 = 所有数×所求率÷所有率这个方法传到印度和西方，叫做 "三率法" (rule of three)。在《九章》中，今有术所属例题都是粟米互换问题。比如，己知粟率50，糠米率30，"今有粟一斗，欲为糠米，问得几何？" 这里1斗是所有数， 50和30分别是所有率和所求率，按今有术，得糠米：10升×30÷50 = 6升。这个问题就是现在小学课本中的比例问题，按现在的解法是： 设所求的米为x升， 则有比例式 50：10 = 30：x 所以x = 即x = 6 此外，《九章》中还有一些复杂的比例问题，如复比例问题、连锁比例问题等等，但现在的小学数学课本中均已不再出现。对于各种比例问题，刘徽注以率为纲，结合齐同原理系统阐述，这些概念如果适当渗透到有关教材中去，将有利于教学。例如，刘徽提出 " 凡数相与者谓之率"，"相与" 即 "相关" 之意，成率关系的数量同时扩大或缩小同样的倍数，其率关系不变。若有甲、乙、丙三物之关系：甲：乙 = a：b1; ，乙：丙 = b2 ：c，已知甲为A，问丙几何？《九章》两次应用今有术甲A化为乙B = ，乙B化为丙C = 叫重今有术。刘徽认为可先把两个率关系中乙率变成相同的值b1b2，为保持率关系不变，则甲的率须变成ab2，丙的率须变为cb1，称为与乙相齐，即甲：乙：丙 = ab2 : b1b2 : cb1，对甲、丙直接应用今有术：C = 。刘徽将此变换称为齐同原理。它源于分数通分， 与 通分必须使分母相同：bd，然后使分子与分母相齐，即分别变为ad、 bc，两分数变为 ， 。这叫 "齐其子，同其母"。 5.几何初步知识 a)长方形面积概念：在《九章》方田章及其刘徽注中讲得很生动。"方田术曰，广从步数相乘得积步"。"方田" 即长方的田，"广" 指长方形的底，"从" (即纵) 指长形的高，"步" 是长度的单位，所以长方形的面积等于底乘高。教师可以参照现行教材，古今对比，借以进一步领会其所以然。 b)三角形面积计算："圭田术曰，半广以乘正从"。三角形的田，古称 "圭田"，"正从" 是指垂直于底的那个高，所以三角形的面积等于底乘高的一半。 c)梯形面积的计算：梯形的田称 "箕田"，同样给出其面积等于上、下底相加与高相乘的一半。 《九章》及其刘注中关于三角形、梯形面积公式借助于传统的出入相补原理作出的。所谓出入相补，刘徽称之为以盈补虚，按现代的说法，即：一个平面图形移动前后，面积不变；一个平面图形割成若干块，各块面积之和等于原图形面积 (立体也同样)。三角形和梯形面积的公式都可根据长方形面积公式，利用出入相补原理而得到如 三角形面积 = ×底×高 梯形面积 = ×(上底 +下底)×高 = 中广×高 出入相补原理是中国古代用于处理面积、体积问题以及可以化为面积和体积问题的一种传统方法，应用十分广泛，方法直观、巧妙，相当于给出证明，适应小学生的接受能力和心理特点，这对小学教学很有指导意义。
九章为算经之首，盖犹儒者之六经，医家之难素，兵法 之孙子欤。后事学者，有倚其门墙，瞻其步趋，或得一 二者，以能自成一家之书。 《九章算术》是中国的基本数学书，其中含有优秀的数 学方法。如与希腊数学比较，在几何学及数论方面，稍 见逊色，但在算术及代数方面，我确信凌驾于希腊数学之上的。 《九章算术》全书共有246道题，分别纳入方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股等九章。本质上，它是一本分门别类的官僚数学公式手册，史家认为「九章算术成于长安之官府，乃以秦汉之计籍为底稿，并非课吏之讲义。」应该是恰当的论断。至于其数学知识的背景，则可追溯到周秦和西汉时代;它的编纂过程与体例的形成，一方面配合了当时社会的需要，另一方面也反映了特定学术思想的旨趣。根据史学家的研究，孔门是继承周代城邦家臣传统而来。其「世传六艺之教:礼、乐、射、御、书、数，恐怕是结集历史经验的结果，也应乎当时需要。习礼乐以为相，练射御以治军，操书数便去当家臣。」因此，从封建时代的家臣到秦汉大一统以后的官吏，学习数学不过是他们干禄的途径之一吧!《颜氏家训》说得好:「算术亦见六艺要事，自古儒士论天道、定律历者皆通学之，然可以兼明，不可以专业。」 尽管士人难得将数学视为安身立命之道，但《九章算术》毕竟是周秦西汉数学知识的总结，自有其可观的成绩。大致说来。在初等数学的范畴内，它所给出的方法都具备了现代意义，这也就是说，只须换个形式，它的内容就可立刻纳入现代数学的一部份了。在算术方面，《九章算术》已经确立分数四则运算，并指出约分、通分法则。此外，它也处理了各式各样的比例问题，并且正确地指出一次代数方程的算术解法一一「盈不足术」。在几何方面，《九章算术》列出很多与土地丈量有关的面积公式，以及和土木建筑有关的体积公式，除极少数给出不太精密的近似值外，其余完全正确。另外，也包括了利用勾股定理解决的应用问题(包括测量问题)。至于在代数方面，《九章算术》已有明确的「开平方法」及「开立方法」，并有由「开平方法」所自然延拓的「开带从平方」(相当于二次方程的数值解法)，以及多元一次方程组解法(「方程术」)和正负数加减法则(「正负术 」)。 由上简述可知，在《九章算术》的成书过程中，从实用问题解法深入分析、具体总结的倾向是很浓厚的，不过，这并不太能突出它的发生、发展背景，如众所周知，古埃及、巴比伦的数学成就地无非如此形成的。要想知道中国古代学者如何通过《九章算术》知识去实践他们的数学主张:也就是说，他们首先提出了什么问题?为何提出的?按着他们又是为何解决的?以及最终他们为何看待自己的数学成就?那就不能把数学局限在本身来看了，臂如，如果切断了欧几里得 (Euclid)与柏拉图(Plato)、亚里斯多德的思想联系，那么「几何原本」就真地成为少数数学家的禁脔了，因此，在一定的学术思想背景中，深入探索《九章算术》知识的形成，不但可以帮助我们确认数学在人类文明进展中所扮演的重要角色，同时也可以提示我们:大约两千多年前的中国人是为何从事数学思考的? 2007-01-17 21:54:05 补充： 第一章，「方田」： 平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式，及分数算法，包括加减乘除法、约分﹝将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。第二章，「粟米」： 各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。 第三章，「衰分」： 比例分配问题。 2007-01-17 21:54:20 补充： 第四章，「少广」： 多位数开平方，开立方的法则。 第五章，「商功」： 立体形体积的计算。 第六章，「均输」： 处理行程和合理解决征税的问题，尤其是与人民从本地运送谷物到京城交税所需的时间有关的问题，还有一些与按人口征税有关的问题，其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。 2007-01-17 21:54:28 补充： 第七章，「盈不足」： 算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等。第八章，「方程」： 有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多一次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。第九章，「勾股」： 专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。
参考: .knowledge.yahoo/question/?qid=7006042500859