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线性代数问题:为什么A和(A的转置乘以A)这两个矩阵的秩会相等?
如题所述
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第1个回答 2021-09-01
用一个不等式直接证明:
R(A)+R(B)-n <= R(AB) <= min{ R(A),R(B)}
n+n-n <= R(A^T A) <= n
第2个回答 2020-06-23
该结论是对实的矩阵A成立。因为AX=0和A'AX=0同解,故r(A)=r(A'A)。
注:若实向量X是AX=0的解,则显然成立A'AX=0,即X也是A'AX=0的解。反之,若X是A'AX=0的解,则0=X'A'AX=(AX)'(AX),因AX为实向量,故该式等价于AX=0,即X也是AX=0的解。
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,假设AX=0,r(A'A)=r
(A)
,两边同时
乘以A
',可得等式A'AX=0,可得方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解。假设A'AX=0,两边同时乘以X',可得等式X'A'AX=0,即(AX)'AX=0,令Y=AX,则Y'Y=0,注意Y=AX为n维列向量,因此可设Y=(y1,y2,yn)',则可得Y'Y=y1...
如何证明
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的秩?
答:
总结来说,通过证明
矩阵A和
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矩阵A乘以A的转置的秩
确实等于A的秩。这个数学定理在许多领域,如
线性代数
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a的转置乘以a的秩为什么
等于a的秩
答:
A是实矩阵就可以实矩阵是指A中元素都是实数不一定是对称矩阵,此时r(A^TA)=r
(A)
证明方法是用齐次线性方程组AX=0与A^TAX=0同解,A不一定是方阵,不一定可逆同济大学编写高教出版的教材上写的很清楚。
A乘A的转置
x=0与Ax=0是同解方程,同解故等秩。秩是
线性代数
术语,在线性代数中,一
个矩阵
...
线性代数
,a单位列向量a
乘以a的转置的秩
是多少,
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答:
这意味着Y的每个分量都是零,所以Y本身也是零向量,即AX=0,从而证明了AAX=0的解也是AX=0的解。由于
这两个
方程组的解集相同,它们的秩自然也是相同的。因此,
矩阵AA的秩
r(AA)等于原向量
a的秩
r
(A)
,即r(AA)=r(A)=1。这就是
为什么
单位列向量
a乘以
其
转置的秩
为1的原因。
刘老师你好,
矩阵A的转置乘以矩阵A
,其
秩会
等于A吗?
答:
A是实
矩阵
就可以 实矩阵是指A中元素都是实数 不一定是对称矩阵.此时 r(A^TA) = r
(A)
证明方法是用齐次线性方程组 AX=0 与 A^TAX=0 同解.A不一定是方阵, 不一定可逆
A的转置乘以A的秩
等于 A乘以A的转置的秩,也等于A的秩,是否正确?
答:
在
线性代数
中,一
个矩阵A的
列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地,行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk
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