向量的数量积公式

Question

如题所述

Answer 1

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

向量的数量积公式：a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量，θ表示向量a,b共起点时的夹角，很明显向量的数量积表示数，不是向量。

一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积，前提始位置要相同。

[扩展资料]

数量积的性质 

设a、b为非零向量，则

①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a|cosθ

②a⊥b=a·b=0

③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a

④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立

⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a.b的夹角）

⑥零向量与任意向量的数量积为0。

向量数量积的运算律 

⑴交换律：a·b=b·a

⑵数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）

⑶分配律：（a+b）·c=a·c+b·c

平面向量数量积的几何意义 

①一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。

②a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

★注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量。

③数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。