设方程mx平方-(m-2)x+(m+3)=0,有整数解,试确定有理数m的值,并求出这时方程所以的所

Question

以整解数

Answer 1

mx²-2(m-2)x+(m+3)=0
m(x²-2x+1)=-(4x+3)
m(x-1)²=-(4x+3)
m=1时，左=0，右=-7，左≠右，等式不成立，因此x≠1
m=-(4x+3)/(x-1)²
m为非负整数，m+1为正整数，1-(4x+3)/(x-1)²为正整数
[(x-1)²-(4x+3)]/(x-1)²=(x²-6x-2)/(x²-2x+1)=k (k为正整数)
(k-1)x²-2(k-3)x+k+2=0
k=1时，等式变为4x+3=0 x=-3/4，方程有解
k>1时，方程有解，判别式Δ≥0
[-2(k-3)]²-4(k-1)(k+2)≥0
7k≤11
k≤11/7，k为正整数，只有k=1，此时只有x=-3/4
x=-3/4代入m=-(4x+3)/(x-1)²
m=-[4×(-3/4)+3]/(-3/4 -1)²=0
方程变为4x+3=0
x=-3/4
综上，得：非负整数m的值为0，方程所有的整数解只有一个：x=-3/4