自然数求和公式

Question

如题所述

Answer 1

#1 Sn = n * (n + 1) / 2

#2 Smn=(n+m)(n-m+1)/2

公式推导过程

1.从1到n的自然数之和:Sn = n * (n + 1) / 2

把两个相同的自然数列逆序相加

2Sn=1+n + 2+(n-1) + 3+(n-2) + ... n+1

=n+1 +n+1 + ... +n+1

=n*(n+1)

Sn=n*(n+1)/2

2.从m到n的自然数之和:Smn=(n-m+1)/2*(m+n)

(n>m)

Smn=Sn-S(m-1)

=n*(n+1)/2 -(m-1)*(m-1+1)/2

={n*(n+1) - m(m-1)}/2

={n*(n+1) - mn + m(1-m) + mn }/2

={n*(n-m+1)+ m(1+ n-m)}/2

=(n+m)(n-m+1)/2