（1）地震记录自相关与互相关函数的定义
设两道地震记录x（n）和y（n）为能量有限信号，其中0≤n≤N－1，则x（n）的自相关函数rxx （m）和与yn的互相关函数rxy（m）分别为
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式中m为互相关函数序列的延迟量，其取值范围为－N＋1≤m≤N－1。通过褶积模型分析相关函数 与地震子波间的联系，即如果设w1（n）和w2（n）以及r1（n）和r2（n）分别对应x（n）和y（n）的地 震子波序列和反射系数序列，同时假设反射系数序列是平稳的、白的和零均值的时间序列，对应的方差 为σ2，且互不相关，得到的关系式为
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公式（4.39）说明相关函数能反映地震数据序列所包含的地震子波的波形、相位和时间延迟量等因素。而这些因素正是进行时移地震非一致性分析所需要的，因为进行时移监测的假设是非油藏区不变，这样 非油藏区的地震响应差异主要由子波不一致产生，因此可以将相关函数引进来分析时移地震资料非油藏 区在时间、振幅、相位、频率等方面的不一致性。
（2）相关函数波形参数物理意义分析
相关函数中包含了地震记录的时间、振幅、相位、频率等因素信息，找到这些信息的表现形式是应 用该方法的关键。下面通过合成地震记录研究这些对应关系。
将地震子波当成简化的合成地震记录，改变子波参数或对子波做相应的变换，分别得到存在时间、振幅、相位、频率差异的子波，求取原子波的自相关函数与变换后子波的互相关函数。
图4.31给出了原子波和存在时间延迟子波的波形显示，图4.32是对应的相关函数的波形显示。从图4.32 中可看出自相关函数与互相关函数的唯一差别是存在时间延迟，而且相关函数对应的时间延迟与子波的 时间延迟相等（这种对应关系也可以通过公式（4.39）得出），该延迟可以用相关函数的极大值对应的时 间求差得到。
图4.33给出了原子波和存在振幅差异子波的波形显示，图4.34是对应的相关函数波形显示。从图4.35 中可看出自相关函数与互相关函数的唯一差别同样是振幅量级上的差别（这种对应关系也可以通过公式（4.39）得出），这种差别可以用相关函数的能量平均值表示。
图4.31 存在时间差异的子波
图4.32 时间差异子波的相关函数
图4.33 存在振幅差异的子波
图4.34 振幅差异子波的相关函数
图4.35给出了原子波和存在相位差异子波的波形显示，图4.36是对应的相关函数波形显示。从图4.37 中可看出自相关函数与互相关函数波形上的差别体现在小的时间延迟和波形的不对称。对于单频信号相 位与时间延迟是同一概念，复杂信号中二者耦合在一起的，完全将二者分开是不可能的。在此，将大的 时间延迟作为时间信息。判断相位信息主要依据波形的不对称性，参考时间延迟信息。
图4.35 存在相位差异的子波
图4.36 相位差异子波的相关函数
图4.37给出了原子波和存在频率差异子波的波形显示，图4.38是对应的相关函数波形显示。从图 4.38中可看出自相关函数与互相关函数波形的差别体现主瓣的宽度不同，这种特征也唯一对应子波频 率的不同。
图4.37 存在频率差异的子波
图4.38 频率差异子波的相关函数
（3）相关函数波形特征参数的提取
前面分析了不同相关函数的波形特征对应着子波在时间、振幅、相位、频率等方面的差异。这些特 征一方面可以通过观察得到，对应各种波形特征代表的物理含义。但对于实际地震记录的相关函数，这 些特征是综合在一起的，如何把表征各种信息的波形特征分开，使人更方便地应用这些特征就是相关函 数特征参数的提取要解决的问题。
根据实际需要，可提取的相关属性参数有（图4.39）：主极值r0（主极值对应的时间延迟τ0）；左次 极值r11；右次极值r21；左第一过零点值τ11；右第一过零点值τ21；左第二过零点值τ12；右第二过零点值 τ22。
图4.39 参数示意图
其中，主极值对应的时间延迟τ0对应时间信息，能量的平均值参数用来表征振幅信息。对直接提取 的参数进行运算可以得到另一些参数，如主极值与右次极值间的波形面积s1，主极值与左次极值间的波形 面积s2。属性参数组合运算可得到直接表征相位与频率信息的新的特征参数，定义为相位因子p与频率因 子f：
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相位因子p刻画了相关函数波形的不对称性，用来表征相位信息。频率因子f刻画了相关函数波形的 宽窄，用来表征频率信息。这样得到了对应时间、振幅、相位、频率差异的相关属性参数，对比相应的 自相关和互相关属性参数就可以获得上述四方面的差异，如果对这些参数进行统计分析可进一步得到对 应差异的统计信息。
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