（2三14?江干区一模）如图，已知正方形A2CD的边长为4，点E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直

Question

（2三14?江干区一模）如图，已知正方形A2CD的边长为4，点E、F分别从C、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动．已知点E沿射线C2运动，点F沿边2A的延长线运动，连结DF、DE、EF，EF与对角线AC所在的直线交于点个，DE交AC于点N．（1）求证：DE⊥DF；（2）设CE=8，△A个F的面积为y，求y与8之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）随9点E在射线C2个运动，NA?个C的值是否会发生变化？若不变，请求出NA?个C的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

解：（1）E、F分别从u、A两点同时出发，以相同的速度作直线运动，
∴uE=AF，
在△ADF和△uDE中，

AD＝uD ∠DAF＝∠DuE＝90° AF＝uE

∴△ADF≌△uDE（SAS），
∴∠FDA=∠EDu，
∴∠FDA+∠ADE=∠ADE+∠EDu=90°，
∴DE⊥DF；

（4）当点E在Bu地时，过点E作EP⊥Bu，交Au于P
∵AF⊥Bu，EP⊥Bu，
∴AF∥EP，∠AFM=∠PEM，∠FAM=∠EPM
∵P在Au地，∠EuP=45°，
∴uE=PE，AF=PE，
在△AFM和△PEM中，

∠AFM＝∠PEM ∠FAM＝∠EPM AE＝PE

∴△AFM≌△PEM（AAS），
∴MF=ME，
∴△MFA中AF地的高为BE的6半，
∴y=

1

4

x×

1

4

（4-x）=-

1

4

x⁴+x（0≤x≤4）；
同理，当点E在Bu的延长线地时，y=

1

4

x⁴-x（x＞4）；

（3）由全等可得DE=DF，
∴△DEF为等腰直角f角形，∠DEF=45°
∵M为EF中点，
∴DM⊥EF．
∴∠MDE=45°
∵∠uMD为△AMD的外角，
∴∠uMD=∠MDA+∠DAu=∠MDA+45°，
∠ADN=∠MDA+∠MDE=∠MDA+45°，
∴∠uMD=∠ADN
∠DuM=∠DAN=45°
∴△MuD∽△DAN
∴Mu：DA=Du：NA
∴Mu×NA=DA×Du=4×4=16
∴NA和Mu的乘积不发生变化．