请问这道题中给出的矩阵如何化简求到它的特征值？

Question

如题所述

Answer 1

解:
|A-λE|
=
3-λ
2
-2
-k
-1-λ
k
4
2
-3-λ
=
-
λ^3
-
λ^2
+
λ
+
1
=
-(λ
-
1)(λ
+
1)^2
A的特征值为
-1,-1,1.
对特征值-1,
必有2个线性无关的特征向量才能使A相似于对角矩阵
即
r(A+E)=1.
而
A+E
=
4
2
-2
-k
0
k
4
2
-2
所以
k
=
0
此时
A+E
-->
2
1
-1
0
0
0
0
0
0
(A+E)X=0
的基础解系为:
a1=(1,-2,0)',a2=(0,1,1)'
对特征值1,
A-E
=
2
2
-2
0
-2
0
4
2
-4
-->
r1+r2,r3+r2,r3-2r1,r2*(-1/2),
r1*(1/2)
1
0
-1
0
1
0
0
0
0
(A-E)X=0
的基础解系为:
a3=(1,0,1)'.
令P
=
(a1,a2,a3),
则有
P^(-1)AP
=
diag(-1,-1,1).