将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9来帮助解决问题。我们知道，在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式s＝a1-q。其中a是这个数列的第一项，q是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。先观察下面两个循环小数：0.666……＝0.6，0.242424……＝0.24。它们都是从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它们写成分数的和的形式：
0.666……＝0.6+0.06+0.006+……
＝610+6100+61000+610000+……
0.242424……＝0.24+0.0024+0.000024+……
＝24100+241000+241000000+……
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0.6666……的公比是110，而0.242424……的公比是1100。根据求和公式得：
0.66……＝6101-110＝610-1＝69，
0.2424……＝241001-1100＝24100-1＝2499。
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数化为分子，让分母由9组成，循环节有几位数字，分母是几个9就行了。例如：
0.4444……＝0.4＝49
0.5656……＝0.56＝5699，
0.31233123……＝0.3123＝31239999＝3471111。
下面再来看看以下两个循环小数：
0.2888……＝0.28，0.3545454……＝0.354它们都不是从小数点的第一位开始循环的，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
0.2888……＝210+8100+81000+810000+……
0.35454……＝310+541000+54100000+……
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以110，1100为公比的无穷递缩等比数列。由求和公式得：
0.2888……＝210+81001-110＝210+8100-10＝210+890＝2×9+890＝26 90＝1345。
0.35454……＝310+5410001-1100＝310+541000-10＝310+54990＝3×99+54900＝351990＝39110。
由此可以看出：把混循环小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由9和0组成，9的个数等于一个循环节的位数，9的后面写0，0的个数等于不循环部分的位数。例如：
0.2777……＝0.27＝27-290＝2590＝5 18。
0.31252525……＝0.3125＝3125-319900＝15474950。
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会从特殊的问题中，总结出一般规律的思考方法。这种由特殊情况归纳出一般情况的方法称为经验归纳法。
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