第1个回答 2020-08-02
1. 对于单调性的定义的理解，要注意以下三点：（1）函数的单调性是对于函数定义域内的某个子集而言的，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的有两个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，证明单调性时不能随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定。三者缺一不可。（3）由于定义都是充要性命题，因此由是增（减）函数且可推出（），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“互逆互推”。2. 证明函数单调性的步骤：①取值：即设x1,x2 是指定区间内的任意两个值，且，则；②作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化、通分等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形；③确定符号：确定差的符号。若符号不确定，要分区域讨论。④判断：根据定义作出结论。3. 函数的单调性是函数的一个重要性质，注意增函数、减函数定义的如下两种等价形式： 设I，（1）在I上是增函数；在I上是减函数；（2）在I上是增函数；在I上是减函数。 4. 要正确理解奇偶性的定义，必须把握好两个问题： （1）定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提，即如果的定义域不关于原点对称，则必是非奇非偶函数，因此判断函数奇偶性时，应先看定义域是否关于原点对称。 （2）函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与单调性不同。奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有或，才能说为奇函数或偶函数。 5. 判断函数奇偶性，一般有以下几种方法： （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数是非奇非偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断，或判断是否等于零，或判断是否等于等等。 （2）图象法：奇（偶）函数的图象关于原点（或y轴）对称。反之，也成立。 （3）性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇数个奇函数的积、商（分母不为零）是奇函数，偶数个奇函数的积、商（分母不为零）是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。 注意：利用上述结论要注意各函数的定义域。 6. 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数在[a,b]和[－b,－a]上有相同的单调性，偶函数在[a,b]和[－b,－a]上有相反的单调性。 奇函数若在处有定义，则，即奇函数若在处有定义，其图象一定过原点。 【典型例题】例1. 证明在上是增函数。解析：设任意两个，并且，则 而 ，故， 所以在上是增函数。点评：（1）借助图象和单调性函数的性质也是判断函数单调性的方法，可把它们视为发现单调性的方法，但作为严格的证明，还是定义法好。 （2）用定义法证明函数单调性的步骤为： ①取值：即设x1,x2 是指定区间内的任意两个值，且，则；②作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化、通分等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形；③确定符号：确定差的符号。若符号不确定，要分区域讨论。④判断：根据定义作出结论。 例2. 设函数在区间[2，＋∞]上是增函数，试求实数a的取值范围。解析：的对称轴方程为， 由二次函数性质知函数的单调递增区间是[1－a, ＋∞），知[2，＋∞）是[1－a, ＋∞）的一个子集 ，即所求实数a的取值范围是点评：函数的单调增（减）区间是A，则函数在A的每个子区间上都增（减），如果函数在某一区间上是增（减）函数，则这一区间是函数的增（减）区间的一个子区间。