在△ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且cosBcosC＝?b2a+c．（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）b=13，

Question

在△ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且cosBcosC＝?b2a+c．（Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）b=13，a+c=4，且a＞c，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB=-sin（B+C）=-sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
∵B为三角形内角，∴B=120°；
（Ⅱ）∵b=

13

，cosB=-

1

2

，a+c=4，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即13=a²+c²+ac=（a+c）²-ac=16-ac，
∴ac=3，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．