证明:若函数y=f(x)在a连续,且f(a)≠0,而函数[f(x)]^2在a可导,则函数f(x)在a也可导

Question

如题所述

Answer 1

　　已知函数 [f(x)]^2 在 x=a 可导，即极限
　　　　lim(x→a)[f²(x)-f²(a)]/(x-a) = A
存在，而 f(x) 在 x=a 处连续，且 f(a)≠0，所以
　　　　lim(x→a)f(x) = f(a)，
所以
　　　　lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a)
　　 = lim(x→a){[f²(x)-f²(a)]/(x-a)}*{1/[f(x)+f(a)]}
　　 = A*[1/2f(a)]
　　 = A/2f(a)，
按定义得知 f'(a) 存在，且
　　　 f'(a) = C/2f(a)。本回答被提问者和网友采纳

Answer 2

即极限lim（x->a） [f²（x）-f²（a）] /(x-a) 存在 ，设其为C
而f（x）在a处连续，且f（a）≠0 所以lim（x->a） 1/ [f（x）+f（a）] =2/f(a)
所以lim（x->a） [f（x）-f（a）] /(x-a)=lim（x->a） {[f²（x）-f²（a）] /(x-a)} {1/ [f（x）+f（a）] }
=2C/f(a)
按定义知f'(a)存在，且f'(a)=2C/f(a)