第1个回答 2019-09-17
V=顶点
F=面
E=棱
证明思路一：逐步减少多面体的棱数，分析V＋F－E．
先以简单的四面体ABCD为例加以说明．
1、去掉一个面，再将它压缩为平面图形．四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变．因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V＋F1－E＝1．
2、将所得的平面图形外围的线段逐一去掉．每去掉一条线段，就减少一个面，V＋F1－E不变．依次去掉所有的外围线段，变为“树枝形”．
3、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，直至只剩一条线段．每去掉一条线段，就减少一个顶点，V＋F1－E不变，最后只剩下一条线段，此时V＋F1－E＝2＋0－1＝1．
4、以上过程V＋F1－E不变，V＋F1－E＝1．所以加上去掉的一个面，V＋F－E
＝2．
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段．因此公式对任意简单多面体都是正确的．
证明思路二：计算多面体各面内角和．
设多面体顶点数V，面数F，棱数E．剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和∑α．
一方面，在原图中利用各面求内角总和．
设有F个面，各面的边数为n1，n2，…，nF，各面内角总和为：
∑α
＝[(n1－2)·1800＋(n2－2)·1800
＋…＋(nF－2)
·1800〕
＝(n1＋n2＋…＋nF－2F)
·1800
＝(2E－2F)
·1800
＝（E－F）·3600
（1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和．
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n－2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V－n个顶点在中间．中间V－n个顶点处的内角和为(V－n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n－2)·1800．
所以，多面体各面的内角总和：
∑α
＝（V－n）·3600＋（n－2）·1800＋（n－2）·1800
＝（V－2）·3600
（2）
由（1）（2）得：（E－F）·3600
＝（V－2）·3600
所以
V＋F－E＝2．
第2个回答 2019-05-28
方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析v+f-e
先以简单的四面体abcd为例分析证法。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数v、棱数v与剩下的面数f1变形后都没有变。因此，要研究v、e和f关系，只需去掉一个面变为平面图形，证v+f1-e=1
（1）去掉一条棱，就减少一个面，v+f1-e不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。
（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，v+f1-e不变，直至只剩下一条棱。
以上过程v+f1-e不变，v+f1-e=1，所以加上去掉的一个面，v+f-e
=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数v，面数f，棱数e。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α
一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有f个面，各面的边数为n1,n2，…，nf，各面内角总和为：
∑α
=
[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800
+…+(nf-2)
·1800]
=
(n1+n2+…+nf
-2f)
·1800
=(2e-2f)
·1800
=
(e-f)
·3600
（1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有v个顶点中，有n个顶点在边上，v-n个顶点在中间。中间v-n个顶点处的内角和为(v-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以，多面体各面的内角总和：
∑α
=
(v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800
=（v-2）·3600.
（2）
由(1)(2)得：
(e-f)
·3600
=（v-2）·3600
所以
v+f-e=2.
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
设r为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d＾2=r＾2-2rr
（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数，例如
p=0
的多面体叫第零类多面体
p=1
的多面体叫第一类多面体
(5)
多边形
设一个二维几何图形的顶点数为v，划分区域数为ar，一笔画笔数为b,则有：
v+ar-b=1
(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，v=5,ar=4,b=8)
(6).
欧拉定理
在同一个三角形中，它的外心circumcenter、重心gravity、九点圆圆心nine-point-center、垂心orthocenter共线。
其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。