证明如果多项式f与g的程积能被不可约多项式 p整除那么至少有一个因

Question

如题所述

Answer 1

p（x）是f（x）的k重因式,设f(x)=p(x)^k q(x),其中q (x)不能被p（x）整除,那么有
f'(x)=p(x)^(k-1)[kp'(x)q(x)+p(x)q'(x)], 显然,p(x)^(k-1)可以整除f'(x),
而p(x) 不能整除kp'(x)q(x)+p(x)q'(x), 事实上,如果p（x）可以整除kp'(x)q(x)+p(x)q'(x),那么
p(x)可以整除p'(x)q(x),由于p（x）是不可约的,所以p(x)可以整除p’（x）或q（x）,由假设,p（x）不能整除q（x）,而p（x）的次数大于p‘(x)（deg p(x)>deg p'(x)）,p(x)不能整除p'(x).
矛盾! 所以p（x）不能整除kp'(x)q(x)+p(x)q'(x),因而p（x）是f'(x)的k-1次重因式.
然后反复应用上面的结果就可以推出,p(x) 是f''(x)的k-2重因式……本回答被提问者和网友采纳