几道数学不等式的问题(高中)

Question

如题所述

Answer 1

第一题
当x>3时
x^2-2x-1=(k-1)^2-2>2,即
x^2>2x+1成立
求证
2^n>n2
,
n≥5
证明:1)n=5时,
2^5=32>5^2,即n=5时不等式成立
2)假设n=k(k>5)时,原不等式成立,即2^k>k^2
那么n=k+1时,2^(k+1)-(k+1)^2
=2*2^k-(k+1)^2>2k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1>0
即n=k+1,时2^(k+1)>(k+1)^2也成立
所以原不等式成立
第二题
√1+
√2+
√3+………+
√n
≤
√n(4n+3)/6
,n≥1
证明:1)当n=1时,左边=1≤(4+3)/6=右边
即n=1时,原不等式成立.
2)假设n=k时,原不等式成立
即√1+
√2+
√3+………+
√k
≤
√k(4k+3)/6
那么n=k+1时
√1+
√2+
√3+………+
√k+√(k+1)
≤√k(4k+3)/6+√(k+1)
又∵(k+1)(4k+1)^2-k(4k+3)^2
=(16k^3+24k^2+9k+1)-(16k^3+24k^2+9k)
=1
∴(k+1)(4k+1)^2>k(4k+3)^2
∴√k(4k+3)<√(k+1)(4k+1)
∴√k(4k+3)/6<√(k+1)(4k+7-6)/6
即√k(4k+3)/6+√(k+1)<√(k+1)(4k+7)/6=右边
即n=k+1时,原不等式也成立
∴原不等式也成立
第三题
证明:∵(a^2
+b^2)/2-[(a+b)/2]^2
=(a^2
-2ab
+b^2)/4
=
(a-b)^2/4≥0
即[(a^2
+b^2)/2]≥[(a+b)/2]^2
又∵a≥0
b≥0
∴(a+b)/2
≥0
∴(a+b)/2
≤√{(a2
+b2)/2}
∴原式成立
第四题
证明:∵a3
+
b3
+c3
-3abc=(a+b)^3-3ab^2-3a^2b+c^3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
∴原式成立
第五题
证明:∵2a^2+2b^2+2c^2-2ab+2bc+2ac
=(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)
=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2≥0
∴2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2bc+2ac
∴原式成立