计算三重积分∫∫∫z²dxdydx 其中Ω是由椭圆球面x²/a²+y²/b²+z²/c²=1

Question

如题所述

Answer 1

ab是x²/a²+y²/b²=1这个标准形式椭圆的面积，要求这个椭圆的面积，首先要化成标准形式，也就是右边必须是1。

上式化为：x²/[a²(1-z²/c²)] + y²/[b²(1-z²/c²)] = 1

因此这个椭圆的长轴和短轴分别为：a√(1-z²/c²)，b√(1-z²/c²)

因此椭圆面积为：πab(1-z²/c²)

这就是被积函数为什么多出一个(1-z²/c²)的原因。

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n）。

在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分。

扩展资料：

如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

三重积分就是立体的质量。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。

参考资料来源：百度百科--三重积分