已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.

Question

如题所述

Answer 1

1)设A(x1,y1),B(x2,y2),两条切线分别为la,lb
则有:la:xx1=2(y+y1)
lb:xx2=2(y+y2)
由于la,lb均过P(t,-4),则有直线AB方程为tx=2(y-4)
则直线AB过定点(0,4);
2)S△OAB=1/2|AB|*d
|AB|=√(1+k²)|x1-x2|
把AB方程代入抛物线方程由韦达定理可得
|x1-x2|=2√(t²+16),而k=t/2
∴|AB|=√(t²+4)*√(t²+16),
由点到直线距离公式可得d=8/√(t²+4)
∴S△OAB=4√t²+16≥16
当且仅当t=0时成立
即面积最小值为16.