^二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3 的矩阵是 A=
[ 0 -1 1]
[-1 0 1]
[ 1 1 0]
解得特征值 λ=1，1, -2.
对应特征向量分别为 (1，-1, 0)^T, (1，0, 1)^T, (1，1, -1)^T.
前两个正交化，得 (1，-1, 0)^T, (1/2，1/2, 1)^T,
再单位化，得 (1/√2，-1/√2, 0)^T, (1/√6，1/√6, 2/√6)^T,
第3个单位化，得(1/√3，1/√3, -1/√3)^T
则正交矩阵 P=
[ 1/ √2 1/ √6 1/√3]
[-1/ √2 1/ √6 1/√3]
[ 0 2/ √6 -1/√3]
使得 P^T*AP=diag(1, 1, -2)，
即 f(y1,y2,y3)=(y1)^2+(y2)^2-2(y3)^2.
扩展资料：
在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。
因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。
参考资料来源：百度百科-正交变换
先写出二次型矩阵
然后求特征值，特征向量，再用施密特正交化方法，求出正交矩阵：
^二次型f (x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3 的矩阵是 A=
[ 0 -1 1]
[-1 0 1]
[ 1 1 0]
解得特征值 λ=1，1, -2
对应特征向量分别为 (1，-1, 0)^T, (1，0, 1)^T, (1，1, -1)^T
前两个正交化，得 (1，-1, 0)^T, (1/2，1/2, 1)^T
再单位化，得 (1/√2，-1/√2, 0)^T, (1/√6，1/√6, 2/√6)^T
第3个单位化，得(1/√3，1/√3, -1/√3)^T
则正交矩阵 P=
[ 1/ √2 1/ √6 1/√3]
[-1/ √2 1/ √6 1/√3]
[ 0 2/ √6 -1/√3]
使得 P^T*AP=diag(1, 1, -2)
即 f(y1,y2,y3)=(y1)^2+(y2)^2-2(y3)^2
扩展资料
二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。
而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson,1781~1840）建立的。
柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。
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