怎样用定义求对数的导数

Question

如题所述

Answer 1

对数函数y=loga(x)的导数的证明
需要用到高等数学中的一些知识：
方法一：利用反函数求导
设y=loga(x)
则x=a^y
根据指数函数的求导公式,两边x对y求导得:
dx/dy=a^y*lna
所以
dy/dx=1/(a^y*lna)=1/(xlna)
高等数学中的dy/dx也就是我们高中的y'。

Answer 2

f(x)=lnx
f'(x)=lim_{h->0}(ln(x+h)-lnx)/h
=lim_{h->0}ln(1+h/x)/h
=lim_{h->0}(1/x)(x/h)ln(1+h/x)
=1/x
最后一个等号是因为lim_{h->0}(1/h)ln(1+h)=1，这个极限由lim_{x->0}(1+x)^{1/x}=e容易推出。