必要性的真理如同星辰照亮夜空，显而易见。现在，让我们进入热流的迷人之旅，揭示其充分性。设想一种热流过程，其初始状态设为 。 根据R. S. Hamilton的开创性工作[1]，我们知道在短时间内，这种流的解是存在的，而且唯一，这是由极值原理为我们编织的美妙篇章。
我们选择的初始值 和条件 共同编织了一个神奇的数学网，引导我们走向更深层次。让我们聚焦于解的长期稳定性：
通过细致的估计，我们发现流的解在时间上的行为犹如一曲悠扬的旋律，它的存在区间 在时间的琴弦上跳跃。极值原理如同乐章中的节拍器，告诉我们流的势能随着时钟的嘀嗒而递减，直到达到一个稳定的平衡点， 和 。
接下来，我们对解的长期存在性进行更深入的探讨。在时间的舞台上，我们展现了一个关于 的精致估计，它揭示了解的稳健性。通过巧妙的构造，我们设定了一个足够大的常数 ，使得 ，进而确保解的持久存在。
在能量的海洋中，我们定义了一个泛函，它如同船只上的罗盘，引领我们探索解的几何结构。定义如下：
这个泛函的定义是路径无关的，无论我们选择哪条路径，它都揭示了解的不变性。通过计算，我们证明了这个泛函的不变性，从而证实了我们的理论基石。
然而，我们并未止步于此。接下来，我们将目光投向了收敛性，期待找到一条通向光滑解的道路。我们证明了存在一个时间序列 ，使得 。这是一场关于时间与空间的微积分舞步，Moser迭代的精妙步法帮助我们揭示了光滑性的秘密。
经过一系列严谨的推导和论证，我们成功地证明了 关于时间的一致有界性，进而得到了关于 和 的上界。这就像在解的迷宫中找到了出路，我们得以在弱意义下得到 和 的稳定存在。
最后，能量泛函的下界揭示了 在 意义下的稳定性，进一步证明了 的光滑性。这标志着我们对Poisson方程的热流方法解的深入理解，它如同数学的瑰宝，熠熠生辉。
参考资料：