二阶常系数非齐次线性微分方程特解怎么设？

Question

如题所述

Answer 1

较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx 

特解  y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=asinx+bcosx   

特解  y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy=mx+n         

特解  y=ax

通解

1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3、一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

扩展资料：

标准形式  y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

解法

通解=非齐次方程特解+齐次方程通解

对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)  的特解y*具有形式

y*= 其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.

将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

多项式法：

设常系数线性微分方程y''+py'+qy=pm  (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz)。

则方程可化为：F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x)，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。

升阶法：

设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+?+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+?+a(n-1)x+an??

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。

参考资料：百度百科——二阶常系数线性微分方程