第1个回答 2024-06-07
1. 微分方程与常微分方程的关系是包含与被包含的关系。微分方程包括常微分方程。
2. 微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
3. 如果未知函数是一元函数，那么它被称为常微分方程；如果未知函数是多元函数，那么它被称为偏微分方程。
4. 含有未知函数的导数的方程，如 \( \frac{dy}{dx} = f(x) \)，是微分方程。
5. 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的重要工具。
6. 微分方程在多个领域中都有广泛的应用，包括流体力学、超导技术、量子力学、数理金融、稳定性分析、材料科学、模式识别、信号处理、工业控制、输配电、遥感测控、传染病分析、天气预报等。
7. 偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。
8. 对于常微分方程，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，维数是很小的。
9. 高阶方程中，线性方程仍可以用叠加原理求解，即n阶齐次方程的通解是它的n个独立特解的线性组合，其系数是任意常数。
10. 非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，这个特解并且可以用常数并销变易法通过求积分求得。
11. 求齐次方程的特解，当系数是常数时可归结为求一代数方程的根；当系数是变数时，则只有二种极特殊的情况（欧拉方程、拉普拉斯方程）可以求得。
12. 至于非线性高阶方程则除了少数几种可降阶情形之外，可以求得通解的为数就更小了。
13. n阶方程也可以化为一阶方程组（未知函数的个数和方程的个数都等于 n），但对此通解的寻求仍无济于事。
参考资料来源：百度百科-微分方程