已知半径为R的圆内接正n边形的边长为an（n在a的右下角）

Question

1.求证：同圆内接正2n边形的面积为二分之一nRan（a后的n在右下角） 2.利用第一题的结论，求半径为R的圆内接正八边形的面积 求过程加结果

Answer 1

已知⊙O内接正n边形边长为a，
⊙O半径为R，用a，R表示此圆外切正n边形边长为多少？
如图
圆内接正n边形和外切正n边形每条边所对的圆心角均为360°/n
即，图中∠AOB=∠COD=360°/n
则，∠AOD=∠DOB=∠BPC=(360°/n)/2=180°/n
而在内接正n边形中，CD/2=R*sin(180°/n)
所以，CD=2R*sin(180°/n)
即，a=2R*sin(180°/n)
所以，sin(180°/n)=a/(2R)
那么，cos(180°/n)=√[1-sin^2
(180°/n)]=√[1-(a/2R)^2]
所以在Rt△BOD中，BO=OD/cos(180°/n)=R/√[1-(a/2R)^2]
则，在Rt△BOD中，BD=BO*sin(180°/n)={R/√[1-(a/2R)^2]}*a/(2R)
=(Ra)/√(4R^2-a^2)
所以，AB=2BD=2Ra/√(4R^2-a^2)