第1个回答 2022-07-09
设m是任一正整数,记 为整数模m的所有剩余类的集合,则集合 构成整数集Z的一个划分, , ,在 上定义运算" "： , 是一个交换群,称为整数模m的剩余类加群
证明：
中心在原点,边与坐标轴平行的正方形,设R表示将正方形ABCD逆时针旋转 的旋转变换, 分别表示以x轴,y轴,直线AC,直线BD为对称轴的反射,设I为恒等变换, , 关于变换的乘法构成一个群
1. 关于变换的乘法封闭
2. 中的乘法满足结合律
3.恒等变换I为 中的单位元,即 ,有
4. ,故 可逆,且逆元为自身, ,故 与 互逆, 的逆为
是一个群,称为8阶二面体群
设复数域C上的四个二阶矩阵为
令 ,则 为一个非交换群,显然H对乘法封闭,且满足结合律,I为单位元, , , ,群H称为四元数群(Hamilton群)
由群的定义,当群中任意两个元的乘积知道后,该群就完全确定,对有限群 ,可用一个表来描述G中的乘法
称为群G的乘法表
注：若群为交换群,则乘法表关于其主对角线对称