初等矩阵都是可逆矩阵吗

Question

如题所述

Answer 1

初等矩阵都是可逆矩阵。

初等矩阵（又称为基本矩阵）是线性代数中的名词，是指与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为n阶初等矩阵。

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

可逆矩阵是一种存在且唯一存在逆阵的特殊矩阵。矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

初等矩阵都是可逆矩阵。是否可逆看它的行列式是否为零，因为初等矩阵行列式都为1，所以都可逆。

矩阵的分类：

矩阵按照不同的结构，可以分成稠密矩阵，稀疏矩阵，三角矩阵，带状矩阵，对角矩阵，三对角矩阵。