在数学分析中，函式的最大值和最小值（最大值和最小值）被统称为极值（极数），是给定范围内的函式的最大值和最小值（本地 或相对极值）或函式的整个定义域（全局或绝对极值）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位发现函式的最大值和最小值数学家之一。
如集合理论中定义的，集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。
极值是一个函式的极大值或极小值。如果一个函式在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函式在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函式值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
基本介绍
中文名 ：极值 外文名 ：extremum 别称 ：稳定值 套用学科 ：数学 适用领域范围 ：数学、物理 适用领域范围 ：数学、物理 分类 ：极大值、极小值 性质 ：极值点处导数为0或不可导
简介,数学词典中的表述,分类,定义,求解函式的极值,多元函式,举例,
简介
极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函式的一定范围内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，统称为极值。使泛函达到极值的变元函式称为极值函式，若它为一元函式，通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。 “极大值” 和 “极小值”的统称。如果函式在某点的 值大于或等于在该点附近任何其他 点的函式值，则称函式在该点的值 为函式的“极大值”。如果函式在某 点的值小于或等于在该点附近任何 其他点的函式值，则称函式在该点 的值为函式的“极小值”。
数学词典中的表述
函式在其定 义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函式在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函式在该点有极 大值; 当函式在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函式在该点有极小值。这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。函 数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函式的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函式f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么： 1）若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值； 2）若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值。
分类
函式的一种稳定值，即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函式不可导的点或导数为零的点上取得。
如图：B、C、D、E点均为极值点 在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是绝对极值。
定义
极值的定义如下： 若函式f(x)在x
0 的一个邻域D有定义，且对D中除x
0 的所有点，都有f(x)<f(x
0 )，则称f(x
0 )是函式f(x)的一个极大值。 同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x
0 )，则称f(x
0 )是函式f(x)的一个极小值。 极值的概念来自数学套用中的最大最小值问题。根据极值定律，定义在一个有界闭区域上的每一个连续函式都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果极值点不是边界点，就一定是内点。因此，这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
求解函式的极值
寻求函式整个定义域上的最大值和最小值是数学最佳化的目标。如果函式在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。 费马定理可以发现局部极值的微分函式，它表明它们必须发生在关键点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。 对于分段定义的任何功能，通过分别找出每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。
多元函式
对于多元函式，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。 计算步骤
求极大极小值步骤 （1） 求导数f'(x)；
（2） 求方程f'(x)=0的根；
（3） 检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
特别注意 f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
求极值点步骤 （1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值； （2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。 （3）上述所有点的集合即为极值点集合。
举例
例题 求函式f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+6x的极值 应该是fx=0，fy=0得到四个点，再代入值比较大小。 fx=3x^2-4x+6>0恒成立 fy=3y^2-4y=0得到y=0或者y=4/3 定理1（必要条件）： 设函式z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零 fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。 定理2（充分条件）： 设函式z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C， 则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： （1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； （2）AC-B2<0时没有极值； （3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。 利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函式z = f(x,y)的极值的求法叙述如下： 第一步 解方程组fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，求得一切实数解，即可求得一切驻点； 第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C； 第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。
说明 上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函式在极值点可导的情形才有效的。当函式仅在区域D内的某些孤立点(xi, yi)不可导时，这些点当然不是函式的驻点，但这种点有可能是函式的极值点，要注意另行讨论。