gamma函数收敛吗？

Question

如题所述

Answer 1

Γ（s)=∫（上限，正无穷；下限，0）exp（-x)*x^(s-1)dx(s>0)
由于s-1<0时，x=0是被积函数的瑕点，故令A1=∫(1，0)exp（-x）*x^(s-1)dx A2=∫(inf，1）e(-x)*x^(s-1)dx
s>=1时，A1是定积分；0<s<1时，e（-x)*x^(s-1)=1/[x^(1-s)*e(-x)]<1/x^(1-s)
由比较审敛法：函数f（x）在区间（a，b]上连续，且f（x）>=0，x=a 为f（x）的瑕点，如果存在常数M>0,及q<1，使f（x)<=M*(x-a)^(-q) (a<x<=b),则反常积分收敛。知A1收敛。
limx^2*[e(-x)x^(s-1)]=limx^(s+1)/e(x)=0(x→inf,洛必达法则，即上下函数求导，只要有定义可进行无限次）
有审敛法：函数在区间[a，inf）上连续，且f（x）>=0，如果存在常数p>1,使得lim(x^p)*f(x)(x→inf）存在，则反常积分收敛。
故gamma函数收敛。