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为什么若A为n阶可逆矩阵,对于任意矩阵B_{n×s}和C_{m×n)有r(AB)=r(B)
如题所述
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第1个回答 2017-08-21
初等变换不改变矩阵的秩
A可逆,AB相当与对B进行有限次初等行变换,所以秩是不变的
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若矩阵A可逆,
则
r(AB)=r(B),为什么
?
答:
假设
A为n
*m、
B为
m*s、AB为n*s,因为
A可逆,
所以r(A)=n,又因为r(AB)<=min(r(A),r(B))=min(
n,
r(B))【重要定理一】;①假设r(B)<n,则r(AB)<=r(B),又因为r(AB)>=r(A)+r(B)-n【重要定理二】所以,r(AB)>=n+r(B)-n=r(B);根据夹逼准则
,r(AB)=r(B)
;②假定r...
设
A为n阶可逆阵,B
为
n×m矩阵
。试证:
r(AB)=r(B)
答:
【答案】:因为
A可逆,
故A可表示成若干初等矩阵的乘积,即存在初等矩阵Pi(i=1,2,…
,s),
使得A=P1P2·Ps,AB=P1P2…PsB,即AB是B经s次初等变换后得到的,由定理
,r(AB)=r(B)
。
设
n阶矩阵a可逆,
则
对任意
的n*
m矩阵B,有R(AB)=R(B)
这个对不
答:
是正确的
,A为
列满秩矩阵
设
n阶矩阵a可逆,
则
对任意
的n*
m矩阵B,有R(AB)=R(B)
这个对不
答:
对的 对的 定理:两个矩阵乘积的不大于每一因子的秩,特别当有一个因子是
可逆矩阵
时,乘积的秩=另一个因子的秩。
为什么若A可逆,
则
r(AB)=r(B)
呢?怎么形象一点理解吗?
答:
若A可逆
,则A可表示成若干个初等矩阵的乘积 对
矩阵B
左乘以一个初等
矩阵,
等价于对B做一次相应的初等行变换 由于对矩阵做初等变换不改变它的秩 所以,
r(AB)=r(B)
设
A为n阶可逆矩阵,B
为
n×m矩阵
,证明:秩
(AB)=
秩
(B)
答:
因为 r(AB)<=min{r(A),r(B)},且A是
可逆矩阵,
,所以 r(B) = r(A^-1AB) <= r(AB),故
r(AB) = r(B)
。在线性代数中,一个
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