如何快速判断特征值重复的矩阵是否可对角化？

Question

矩阵如下：

0 a 1
0 1 0
1 -1 0
问a为何值时，矩阵A能对角化？
|A-λE|= -λ a 1
0 1-λ 0
1 -1 -λ =(λ-1)^2(λ+1)=0
λ1=-1
λ2=λ3=1
到这里为止我都懂！但是下面该怎么办？
把λ1=-1 λ2=λ3=1 按照[可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量]
带回去求出特征向量，再证明线性无关，然后求出a？
TM会算死人的！
再看看答案：A-1*E=……然后它的秩=1然后a=1
然后我就无语了！到底怎么来的？

Answer 1

如果A可以对角化，那么有一个结论：r(A-λE)=阶数-特征值重数，这里特征值两重，3阶，那么这个秩就是1，这就是结论的由来。对 A-λE 进行行变换，化成行阶梯，可以看出要使这个秩为1就要使 a=1。或者这里 r(A)<3，则 |A|=0。

n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个ki重特征根λi，齐次线性方程组（λiI-A）X=0的基础解系由ki个解向量构成。

扩展资料：

如果 V 是有限维度的向量空间，则线性映射 T ： V → V 被称为可对角化的，如果存在 V 的一个基，T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。

可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理： 它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

参考资料来源：百度百科-可对角化矩阵

Answer 2

如果 A 可以对角化，那么有一个结论：r(A-λE)=阶数-特征值重数，这里特征值两重，3阶，那么这个秩就是1，这就是结论的由来。对 A-λE 进行行变换，化成行阶梯，可以看出要使这个秩为1就要使 a=1。或者这里 r(A)<3，则 |A|=0

Answer 3

这么说吧，你倒过来想就明白了，A可以对角化，所以相同特征值的特征向量线性无关
然后你要解（E-A）X=0这个矩阵吧，重根有两个，意思就是有两个线性无关的解向量，有个公式是n-r（E-A）=2，所以r（E-A）=n-2=3-2=1是不是

Answer 4

n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个ki重特征根λi，齐次线性方程组（λiI-A）X=0的基础解系由ki个解向量构成本回答被网友采纳

Answer 5

你好，我想问问为什么我用 |λE-A|算出来a=-1，用|A-λE|算出来a=1。两个都对，还是我算错了?