第1个回答 2022-10-27
(一)椭圆及其标准方程
1. 椭圆的定义：椭圆的定义中,平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1F2|,则这样的点不存在；若距离之和等于
| F1F2|,则动点的轨迹是线段F1F2
2.椭圆的标准方程：x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）,y?/a?+x?/b?=1（a＞b＞0）.
3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x?项的分母大于y?项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之,焦点在y轴上.
4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
(二)椭圆的简单几何性质
1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）.
⑴ 范围： -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
⑶ 顶点：有四个A1（-a,0）、A2（a,0）B1（0,-b）、B2（0,b）.
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.
⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e=c/a叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时,椭圆越扁；反之,e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.
2.椭圆的第二定义
⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=c/a（e＜1时,这个动点的轨迹是椭圆.
⑵ 准线：根据椭圆的对称性,x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的准线有两条,它们的方程为x=±（a?/c）.对于椭圆y?/a?+x?/b?=1（a＞b＞0）的准线方程,只要把x换成y就可以了,即y=
±（a?/c）.
3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
设F1（-c,0）,F2（c,0）分别为椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的左、右两焦点,M（x,y）是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为|MF1|=a+ex,|MF2|=a+ex.
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a?=b?+c?,e=c/a两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.
4.椭圆的参数方程
椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的参数方程为x=acosθ,y=bsinθ（θ为参数）.
说明：⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：tanα=（b/a）tanθ；
⑵ 椭圆的参数方程可以由方程x?/a?+y?/b?=1与三角恒等式sin?θ+cos?θ=1相比较而得到,所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.
5.椭圆的的内外部
（1）点P（x0,y0）在椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的内部,得出x0?/a?+y0?/b?＜1.
（2）点P（x0,y0）在椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）的外部,得出 x0?/a?+y0?/b?＞1.
6. 椭圆的切线方程
（1）椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）上一点P（x0,y0）处的切线方程是（x0?x）/a?+（y0?y）/b?=1.
（2）过椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是（x0?x）/a?+（y0?y）/b?=1.
（3）椭圆x?/a?+y?/b?=1（a＞b＞0）与直线Ax+By+C=0相切的条件是A?a?+B?b?=c?
(三)双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件2a＜|F1F2|,这一条件可以用“三角形的两
边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|,则无轨迹.若|MF1|＜|MF2|时,动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若|MF1|＞|MF2|时,轨迹为
双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
2.双曲线的标准方程：x?/a?-y?/b?=1和y?/a?+x?/b?=1（a＞0,b＞0）.这里b?=c?-a?,其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.
3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x?项的系数是正数,则焦点在x轴上；如果 项的系数是正数,则焦点在y轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大
小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解.
(四)双曲线的简单几何性质
1.双曲线：x?/a?-y?/b?=1的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率e=c/a＞1,离心率e越大,双曲线的开口越大.
2. 双曲线：x?/a?-y?/b?=1的渐近线方程为y=±（b/a）或表示为：x?/a?-y?/b?=0.若已知双曲线的渐近线方程是y=±（m/n）x,即mx±ny=0,那么双曲线的方程具有以下形式：m?x?-
n?y?=k,其中k是一个不为零的常数.
3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线：x?/a?-y?/b?=1,它的焦点坐标是（-c,0）
和（c,0）,与它们对应的准线方程分别是x=-a?/c和x=a?/c.双曲线：x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)的焦半径公式|PF1|=|e（x+a?/c）|,|PF2|=|e（-x+a?/c）|.
4.双曲线的内外部
(1)点P（x0,y0）在双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)的内部,得出x0?/a?-y0?/b?＜1.
(2)点P（x0,y0）在双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)的外部,得出x0?/a?-y0?/b?＞1.
5.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为x?/a?-y?/b?=1得出渐近线方程：x?/a?±y?/b?=0得出y=±（a/b）x.
(2)若渐近线方程为y=±（a/b）x,得出 x?/a?±y?/b?=0,双曲线可设为x?/a?-y?/b?=λ.
(3)若双曲线与x?/a?-y?/b?=1有公共渐近线,可设为x?/a?-y?/b?=λ（λ＞0,焦点在x轴上,λ＜0,焦点在y轴上）.
6. 双曲线的切线方程
（1）双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)上一点P（x0,y0）处的切线方程是（x0?x）/a?-（y0?y）/b?=1.
（2）过双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是（x0?x）/a?+（y0?y）/b?=1.
（3）双曲线x?/a?-y?/b?=1(a＞0,b＞0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A?a?-B?b?=c?.
(五)抛物线的标准方程和几何性质
1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线.这个定点F叫抛物线的焦点,这条定直线l叫抛物线的准线.
需强调的是,点F不在直线l上,否则轨迹是过点F且与l垂直的直线,而不是抛物线.
2．抛物线的方程有四种类型：
y?=2px、y?=-2px、x?=2py、x?=-2py.
对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开
口方向向x轴或y轴的负方向.
3．抛物线的几何性质,以标准方程y2=2px为例
（1）范围：x≥0；
（2）对称轴：对称轴为y=0,由方程和图像均可以看出；
（3）顶点：O（0,0）,注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；
（4）离心率：e=1,由于e是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；
（5）准线方程x=-p/2；
（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1,y1）,F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：
y?=2px,|PF|=x1+p/2；y?=-2px,|PF|=-x1+p/2
x?=2py,|PF|=y1+p/2；x?=-2py,|PF|=-y1+p/2
（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式.设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB,A（x1,y1）,B（x2,y2）,AB的倾斜角为α,则①|
AB|=x +x +p②|AB|=2p/(sina)?这两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求.
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0,当a≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但如果a=0,则直线是抛
物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点.
4.抛物线y?=2px上的动点可设为P(y0?/2p,y0)或P(y0?/2p,y0)或P（x0,y0）,其中 y0?=2px0.
5.二次函数y=ax?+bx+c=a(x+b/2a)?+ [ (4ac-b?)/4a ]（a≠0）的图象是抛物线：（1）顶点坐标为[-b/2a,（4ac-b?）/4a]；（2）焦点的坐标为[-b/2a,（4ac-b?+1）/4a]；（3）准线方
程是y=（4ac-b?+1）/4a.
6.抛物线的内外部
(1)点P（x0,y0）在抛物线y?=2px（p＞0）的内部,得出y?＜2px（p＞0）.
点P（x0,y0）在抛物线y?=2px（p＞0）的外部,得出y?＞2px（p＞0）.
(2)点P（x0,y0）在抛物线y?=-2px（p＞0）的内部,得出y?＜-2px（p＞0）.
点P（x0,y0）在抛物线y?=-2px（p＞0）的外部,得出y?＞-2px（p＞0）.
(3)点P（x0,y0）在抛物线x?=2py（p＞0）的内部,得出x?＜2py（p＞0）.
点P（x0,y0）在抛物线x?=2py（p＞0）的外部,得出x?＞2py（p＞0）.
(4)点P（x0,y0）在抛物线x?=-2py（p＞0）的内部,得出x?＜-2py（p＞0）.
点P（x0,y0）在抛物线x?=-2py（p＞0）的外部,得出x?＞-2py（p＞0）.
7. 抛物线的切线方程
(1)抛物线y?=2px（p＞0）上一点P（x0,y0）处的切线方程是y0?y=p(x+x0).
(2)过抛物线y?=2px（p＞0）外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是y0?y=p(x+x0).
(3)抛物线y?=2px（p＞0）与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB?=2AC.
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