用分离参数法解含参不等式的恒成立问题

Question

如题所述

Answer 1

含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.

使用情景：对于变量和参数可分离的不等式

解题步骤：

第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；

第二步 先求出含变量一边的式子的最值；

第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.

【例】 已知函数 ，若 在函数定义域内恒成立，则 的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

【解析】由题意得 在函数定义域内恒成立，

即 在函数定义域内恒成立，

即 在函数定义域内恒成立，

设 ，则 ，

当 上，函数 单调递增;

当 上，函数 单调递减，

所以当 时，函数 取得最大值，此时最大值为 ，

所以实数的取值范围是 ，故选D

【总结】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：

（1） 恒成立 ；

（2） 恒成立 ；

（3） 恒成立 ；

（4） 恒成立 .