第1个回答 2011-02-06
在所有质数中，2是唯一的一个偶数，除了2以外，所有的质数都是奇数。但不是所有的奇数都是质数。
在小学阶段，经常用到的质数是50以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，47。
怎样判断一个自然数是质数还是合数？
常用的方法有：（1）查质数表（2）利用数的整除特征（3）用质数试除。
这一讲，我们将进一步研究质数、合数及分解质因数的问题。
【典型例题】
例1. 分别判断109和437是质数还是合数？
解：对于一个不很大的自然数n（n>1，为非完全平方数，可以用质数试除的方法判断它是质数还是合数。）
先找出一个大于n的最小的完全平方数k2，再写出k以内的所有质数，如果这些质数都不能整除n，那么n是质数；如果有一个质数能整除n，那么n是合数。
如：109<112，而11以内的质数有2，3，5，7都不能整除109，所以109是质数。
437<212，21以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，用每一个质数逐一去试除，19能够整除437，所以437是合数。
例2. 写出五个连续的自然数，个个都是合数，这五个数分别是多少？
解：个位数字分别是0，2，4，5，6，8的两位数（或两位以上），一定是合数。如果找到一个个位是3的合数，那么能很快找到个位是2，3，4，5，6的五个连续自然数一定是合数。
例如：33是合数，那么，32，33，34，35，36是五个连续的合数。63是合数，那么62，63，64，65，66是五个连续的合数。这样可以找到无数组符合要求的数。
例3. 把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？
解：33以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31。将33拆成两个质数之和，这两个质数必定是一奇一偶，质数中只有2是偶数，因此另一个数一定是31。2×31＝62。
将33拆成3个质数之和，这3个质数一定都是奇数，这3个质数越接近，它们的乘积就越大。显然，5，11，17这三个质数的乘积最大。
5×11×17＝935
将33拆成4个质数之和。33是奇数，四个质数中一定有一个偶数2，其余三个是奇数，而且三个质数之和是31。和是31的三个质数中，以7，11，13这三个质数最接近，乘积最大。
2×7×11×13＝2002
能否将33拆成5个或5个以上质数之和呢？这是不可能的。因为取最小五个连续奇质数3，5，7，11，13的和是39，已知超过33。
所以把33拆成2，7，11，13四个质数时，它们的乘积最大。
例4. 李明是个六年级小学生，参加了全市的数学竞赛，他说：“我的名次、分数和我的年岁之积是3204”，李明得了多少分？获得了第几名？
解：由于李明的名次，分数和年岁之积是3204，所以名次，分数和年岁这三个数都是3204的约数，将3204分解质因数，则是
3204＝2×2×3×3×89
显然89是他的考试分数，将2×2×3×3转化成两个数相乘的形式，即名次乘年岁，有以下几种情况：2×18，3×12，4×9
由于题目中已指出，李明是个六年级学生，所以应选3×12，因此李明获得了第3名，得分是89分。
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
1. 判断下列各数哪些是质数，哪些是合数？
119、131、143、157、161、179
2. 有五个连续的奇数，它们的乘积是135135。求这五个连续的奇数。
3. 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，这三个质数分别是多少？
4. 班主任老师带领学生去种树，学生平均分成3组，师生每人种树棵数相等，已知师生共种树572棵，一共有多少个学生？每人种多少棵树？
【试题答案】
1. 判断下列各数哪些是质数，哪些是合数？
119、131、143、157、161、179
解：119<112，11以内的质数有2，3，5，7。2，3，5都不能整除119，只有7能整除119，所以119是合数。
131<122，12以内的质数有2，3，5，7，11。这些质数都不能整除131，所以131是质数。
143<122，12以内的质数有2，3，5，7，11。这些质数中只有11能整除143，所以143是合数。
157<132，13以内的质数有2，3，5，7，11。这些质数都不能整除157，所以157是质数。
161<132，13以内的质数有2，3，5，7，11。这些质数中只有7能整除161，所以161是合数。
179<142，14以内的质数有2，3，5，7，11，13。这些质数都不能整除179，所以179是质数。
2. 有五个连续的奇数，它们的乘积是135135。求这五个连续的奇数。
解：135135＝135×1001＝5×3×3×3×7×11×13
＝7×9×11×13×15
3. 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，这三个质数分别是多少？
解：设三个不同质数是a、b、c
因为 ，所以a、b、c中，必定有一个质数是11，不妨设a＝11，则
当b＝2时， 得到c是13。
当b＝3时， 得到c是7。
当b＝5时， 得到c是4，4是合数，不符合要求。
当b＝7时， 得到c是3，与前面答案重复。
所以这三个质数分别是2，11，13或3，7，11。
4. 班主任老师带领学生去种树，学生平均分成3组，师生每人种树棵数相等，已知师生共种树572棵，一共有多少个学生？每人种多少棵树？
解：由题意可知，学生人数和每人种树棵数都是572的约数，学生人数是3的倍数，再加上1位老师，师生人数除以3余1。
572＝2×2×11×13
按照题意搭配得出：572＝11×（13×2×2）＝11×（51＋1）
答：这个班共有学生51人，每人种树11棵。