函数可积一定存在原函数吗？

Question

如题所述

Answer 1

函数可积不一定存在原函数。 

可积是只定积分，而定积分可积的必要条件是函数有界；可积的充分条件有：连续；或有界且只有有限个间断点；或单调。同时注意到f（x）在x=0处是间断的，只不过. 是第二类间断点；存在第一类间断点的函数是不存在原函数的。 

积分的主要任务就是找到原函数。不过有的可积函数是找不到原函数的！可积但原函数不一定存在,原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)一定可积且原函数存在；若函数f(x)在区间[a,b]上存在有限个间断点，则函数f(x)一定可积，而原函数的存在性需要通过判断间断点的连续性来得出原函数是否存在。

扩展资料

原函数的定义：如果在区间I上，F’(x)=f(x)那么称F(x)是f(x)在区间I上的原函数（或反导数）。如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中的任何两个原函数之间只相差一个常数。

不定积分的定义：函数f(x)在区间I上所有原函数的一般表达式称为f(x)在I上的不定积分，记作

对于原函数的存在性有如下两个重要结论：

1、如果在区间I上函数f(x)连续，则函数f(x)在区间I上存在有原函数。

2、如果在区间I上函数f(x)有第一类间断点和第二类无穷间断点，则函数在该区间I上没有原函数，如果函数在区间I上仅仅具有第二类振荡间断点，则有可能存在有原函数。