求通过y轴且与点M(1,2,3)相距1个单位的平面方程

Question

求通过y轴且与点M(1,2,3)相距1个单位的平面方程。

Answer 1

直线为平面x+y+z+2=0与2x-y+3z+10=0的交线
平面x+y+z+2=0法向量n1=(1,1,1)
平面2x-y+3z+10=0法向量n2=(2,-1,3)
(向量积)
n1×n2=(4,-1,-3)
即为直线的方向向量
该直线的方向向量是所求平面的法向量
且所求平面过点m(1,-3,2)
所以平面方程为4(x-1)-(y+3)-3(z-2)=0
即4x-y-3z-1=0

Answer 2

因为平面通过y轴，故设
平面方程
为ax+bz=0（a,b不同时为0）
点M(1，2，3)到平面ax+bz=0的距离
d=|a+3b|
/
√(a²+b²)=1
(a+3b)²=a²+b²
4b²+3ab=0
得b=0或b=-3a/4
b=0时，a≠0，故平面方程为x=0
b=-3a/4时，ax-3az/4=0，即4x-3z=0
综上，所求的平面方程为x=0或4x-3z=0