高中难解数列数学题

Question

如题所述

Answer 1

证明：An+A(n+1)=p
An*A(n+1)=q
项数为2N的等差数列{An}的和为
（A1+A2n）*2n/2=n*（A1+A2n）=n*[An+A(n+1)]=np
lg^2(x)-(lgn^2+lgp^2)lgx+(lgn+lgp)^2=0
将lgx看成整体
该方程Δ=(lgn^2+lgp^2)^2-4(lgn+lgp)^2
=4(lgn+lgp)^2-4(lgn+lgp)^2=0
该方程为两等根lgx1=lgx2
lgx1+lgx2=(lgn^2+lgp^2)=2lgx1=2lgnp
那么x1=x2=np,正好上述数列的和，所以得证

Answer 2

证明：由韦达定理有an+an-1=p,an*an-1=q
根据等差数列求和公式有
S2n=[a1+a(2n+1)]*2n/2=n[a1+a(2n+1)]=n[an+a(n-1)]=pn
即此数列的和为pn
要证明此数列的和是(lgx)^2-{(lgn)^2+(lgp)^2}*lgx+(lgn+lgp)^2=[lgx-(lgn+lgp)]^2=0的根
亦即证明pn是lgx=lgn+lgp的根
只需证明pn满足等式，使得等式成立
于是带入有lgpn-lgn-lgp=(lgn+lgp)-lgn-lgp=0也就说明了pn是lgx=lgn+lgp的根
于是此数列的和S2n=pn是(lgx)^2-{(lgn)^2+(lgp)^2}*lgx+(lgn+lgp)2=0的根