离散傅里叶变换dft公式

Question

如题所述

Answer 1

DFT全称离散傅里叶变换，公式为Xk = ∑N 1n = 0xne j2πkn / N。

其中N为时域离散信号的点数，n为时域离散信号的编号（取值范围为0~N-1），m为频域信号的编号（取值范围为0~N-1），频域信号的点数也为N。因此离散傅里叶变换的输入为N个离散的点（时域信号），输出为N个离散的点（频域信号，频域信号的每个点都用一个复数表示）。

离散傅里叶变换中频域变换的核心就是三角函数的和差化积。sinA* sinB在某些情况下就是一个直流电平和一个（A+B）频率的交流之和，如果交流的累加积分值是0，则用直流来表示当前频率相位的幅度。

DFT的引入有两个关键点。

一点是截断，另一点是(频域)采样。

截断的原因是机器无法表示无限长的序列，只能处理有限长序列。

采样是理解DFT的重点。前面提到离散非周期序列的傅里叶变换(DTFT)在频域上是连续的，这连续的频域特征是机器无法表达的，因此我们需要对它进行采样，又由于频域上具有周期性，所以只需要对2pi长度的区间采样即可。

由此，DFT的两个引入动机就清楚了:它是对无限长序列截断成有限长序列，进行DTFT以后再在频域采样。