第1个回答 2019-10-12
没有正交混合表的说法，只有正交拉丁方的问题。
有一次，普鲁士腓特烈大王决定举行一次盛大的阅兵典礼，打算从6支部队里面，各选出6名不同军衔（例如上校、中校、少校；上尉、中尉、少尉）的军官各一人，合计六六三十六人，排成一个每边正好6人的方阵，要求每行每列都必须有各个部队和各种军衔的代表，既不准重复，也不能遗漏。这件事情看来很好办，不料命令传达下去之后，却根本无法执行。阅兵司令接二连三地吹哨子，喊口令，排来排去，始终不符合国王的要求，他急得像只热锅上的蚂蚁。执事官员和国王的侍从们一见事情不妙，只好临时找个借口，支吾过去。但这已使腓特烈大王在众多外国贵宾面前窘态毕露，出足洋相。
事后，腓特烈大王对这件事情始终耿耿于怀，认为阅兵司令竟连这点小事也办不好，真是个草包。他就自己动手试试，在纸上排一下，可是试来试去，竟无法成功。于是他去向许多有学问的人请教，可是他们也都束手无策。最后，他不得不去请教当时欧洲第一流的大数学家欧拉，希望能找出一个解决方案。
那时，欧拉已经很老了。在此之前，不知有多少个令人望而生畏的数学难题在他手里迎刃而解。但是这样一个小孩子也明白其意义的，看上去非常简单的“三十六军官问题”，竟然也把他难住了。经过长期苦心研究，他终于认为国王的要求是无法满足的，也就是说，那样的6阶方阵是排不出来的。
如果把国王的旨意略作修改，比如说，如果是从（4t+2）支部队中，各选出（4t+2）名不同军衔的军官各一人，共（4t+2）^2人排成一个（4t+2）阶方阵的话，那样的方阵是否排得出来呢？欧拉曾猜测：对任何非负整数t，n=（4t+2）阶正交拉丁方都不存在，也就是说这样的方阵都排不出来。但是t=2时，n=10，要从十支部队中选出十名不同军衔的军官各一人，一共100人，排一个十阶方阵的话，这个方阵就排得起来。这说明欧拉猜想不对。
B 2C 5D 3E 1A
3C 1D 4E 2A 5B
2D 5E 3A 1B 4C
1E 4A 2B 5C 3D
5A 3B 1C 4D 2E
如果是从5支部队中，各选出5名不同军衔的军官各一人，共25人排成一个5阶方阵的话，那就很容易了，（如图）便是一种排法（图中的数字代表不同部队，英文字母代表不同军衔）。
类似这样的方阵，在数学上称为正交拉丁方，目前，它在实验设计中非常活跃，在农业、轻工、生物、化工、医药等各方面都有极其广泛的应用。利用它，能够以较少的实验次数获得较好的结果。还能节省原料，改进配方等等，好处多得说不完。
到20世纪50年代，印度数学家玻斯等人终于证明了，除了四军官和三十六军官问题外，军官问题都有解。所以3，4，5，7，8，9，…，各阶正交拉丁方都是作得出来的，偏偏就是6阶的作不出来。也就是说，九军官、十六军官、二十五军官、四十九军官、六十四军官、八十一军官的方阵都是排得出来的，就是三十六军官的方阵排不起来。1901年，法国一位数学家泰利果真证明了它是不存在的，而当年菲特烈大王偏偏碰上了它，真可谓“无巧不成书”了。
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有一次，普鲁士腓特烈大王决定举行一次盛大的阅兵典礼，打算从6支部队里面，各选出6名不同军衔（例如上校、中校、少校；上尉、中尉、少尉）的军官各一人，合计六六三十六人，排成一个每边正好6人的方阵，要求每行每列都必须有各个部队和各种军衔的代表，既不准重复，也不能遗漏。这件事情看来很好办，不料命令传达下去之后，却根本无法执行。阅兵司令接二连三地吹哨子，喊口令，排来排去，始终不符合国王的要求，他急得像只热锅上的蚂蚁。执事官员和国王的侍从们一见事情不妙，只好临时找个借口，支吾过去。但这已使腓特烈大王在众多外国贵宾面前窘态毕露，出足洋相。
事后，腓特烈大王对这件事情始终耿耿于怀，认为阅兵司令竟连这点小事也办不好，真是个草包。他就自己动手试试，在纸上排一下，可是试来试去，竟无法成功。于是他去向许多有学问的人请教，可是他们也都束手无策。最后，他不得不去请教当时欧洲第一流的大数学家欧拉，希望能找出一个解决方案。
那时，欧拉已经很老了。在此之前，不知有多少个令人望而生畏的数学难题在他手里迎刃而解。但是这样一个小孩子也明白其意义的，看上去非常简单的“三十六军官问题”，竟然也把他难住了。经过长期苦心研究，他终于认为国王的要求是无法满足的，也就是说，那样的6阶方阵是排不出来的。
如果把国王的旨意略作修改，比如说，如果是从（4t+2）支部队中，各选出（4t+2）名不同军衔的军官各一人，共（4t+2）^2人排成一个（4t+2）阶方阵的话，那样的方阵是否排得出来呢？欧拉曾猜测：对任何非负整数t，n=（4t+2）阶正交拉丁方都不存在，也就是说这样的方阵都排不出来。但是t=2时，n=10，要从十支部队中选出十名不同军衔的军官各一人，一共100人，排一个十阶方阵的话，这个方阵就排得起来。这说明欧拉猜想不对。
B 2C 5D 3E 1A
3C 1D 4E 2A 5B
2D 5E 3A 1B 4C
1E 4A 2B 5C 3D
5A 3B 1C 4D 2E
如果是从5支部队中，各选出5名不同军衔的军官各一人，共25人排成一个5阶方阵的话，那就很容易了，（如图）便是一种排法（图中的数字代表不同部队，英文字母代表不同军衔）。
类似这样的方阵，在数学上称为正交拉丁方，目前，它在实验设计中非常活跃，在农业、轻工、生物、化工、医药等各方面都有极其广泛的应用。利用它，能够以较少的实验次数获得较好的结果。还能节省原料，改进配方等等，好处多得说不完。
到20世纪50年代，印度数学家玻斯等人终于证明了，除了四军官和三十六军官问题外，军官问题都有解。所以3，4，5，7，8，9，…，各阶正交拉丁方都是作得出来的，偏偏就是6阶的作不出来。也就是说，九军官、十六军官、二十五军官、四十九军官、六十四军官、八十一军官的方阵都是排得出来的，就是三十六军官的方阵排不起来。1901年，法国一位数学家泰利果真证明了它是不存在的，而当年菲特烈大王偏偏碰上了它，真可谓“无巧不成书”了。
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