有界变差函数最初是Jordon为了研究傅里叶级数的收敛性而引入的。
一个函数的 total variation 被定义为： 这里的划分 是任意的。如果 是有界的，就说 在 上是有界变差的（BV）。
闭区间上的有界变差函数自然是有界的，显然闭区间上的单调函数是有界变差的。
有界变差函数的重要意义，要从一个著名的定理说起：
Jordan分解定理断言， 有界变差函数能分解成两个单调函数的差 。因此，有界变差函数，可以理解为单调函数在分析学意义上的推广，并且有界变差函数也具有一些单调函数所具有的良好性质。
此外，有界变差函数几乎处处可导。
单调函数，在分析学上，被用来定义 。
有了有界变差函数，我们就能 将微分号 后面的函数从单调函数，扩展到有界变差函数。
布朗运动轨道的一个重要性质就是它 并不是有界变差的 （在给定的时间 上），但它是 二次变差 的。
给定时间 ，标准布朗运动在 上的二次变差 是一个随机变量 ：
是标准正态分布的平方，从而 ， ，所以
根据切比雪夫不等式，得到 ，这是以概率收敛的。再根据Borel-Cantelli 引理，得到 ， 最终得到几乎绝对的收敛性 。同时容易证明 还是 收敛到 的。于是，我们得到： 在 上的布朗运动具有有限的二次变差，并且其值为 。
这是后续定义随机积分的必要基础知识。 因为布朗运动不是有界变差的，所以我们不能通过经典的 积分来定义随机积分 ，处理 这个表达式就需要新的理论。（关于随机积分的定义，见： https://www.jianshu.com/p/89bcfe5c5b60 ）
二次变差是布朗运动一个较为本质的特性，Levy给出的布朗运动的刻画说的就是： 从0开始的、轨道连续的鞅在 上具有二次变差 ，那么它一定就是标准布朗运动
参见：
http://individual.utoronto.ca/normand/Documents/MATH5501/Project-3/Levy_characterization_of_Brownian_motion.pdf