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    • 设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵

    设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵．

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    第1个回答  2019-11-17
    首先知道一个定理：
    a正定<=>存在可逆矩阵c，使得a=c*c的转置
    接下来证明你的题：
    因为a正定
    所以存在可逆矩阵c，使得a=c*c的转置
    设c的逆的转置=d
    则d可逆，且
    a的逆=d*d的转置
    （对上式两边取逆就得到了）
    所以a的逆也是正定的
    而a*a的伴随=|a|*e
    所以
    a的伴随=|a|*a的逆
    其中|a|是a的行列式，是一个正数
    即为一个正数乘以一个正定阵，所以是正定的
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