第1个回答 2013-10-23
题型1 直接提取公因式例1（无锡市）分解因式：b2－2b＝＿＿＿.分析 两项都含有字母b，于是可直接用提取公因式分解因式.解 b2－2b＝b(b－2).说明 本题是考查同学们对用提公因式法分解因式的方法.用提取公因式法分解因式时，首先应确定公因式.确定公因式的原则是：“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公约数；二看字母，提取各项的相同的字母；三看字母的次数，各字母的指数取次数最低的；四看整体，如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换，如(a+b)2＝(b－a)2，(a－b)3＝－(b－a)3，然后取相同因式中次数最低的因式作为公因式的一部分因式；五看首项符号，若多项式中首项是负数，则公因式符号取负号，使多项式的第一项系数变为正数，需注意的是在提取出“－”号后，多项式的各项都要变号.题型2 直接套用平方差公式例2（上海市）分解因式：x2－4＝＿＿＿.分析 给定的多项式只有两项，且符合平方差公式，于是可利用平方差公式直接分解.解 x2－4＝(x+2)(x－2).说明 本题是考查同学们直接运用平方差公式分解因式的方法，求解时，只要满足是：一是两项；二是每一项都是完全平方项，或可以写完全平方式；三是两项的符号相反.题型3 直接套用完全平方公式例3（福州市）因式分解：x2＋4x＋4＝＿＿＿.分析 给定的多项式有三项，而4＝22，于是首尾两项是完全平方的和，中间一项4x＝2×2x，由此刚好符合完全平方公式.解 x2＋4x＋4＝(x+2)2.说明 形如a2±2ab+b2的式子，称为完全平方式，本题正是考查利用完全平方公式及因式分解的知识，求解时一定要弄清楚完全平方公式的结构特征，对号入座，绝对不能张冠李戴.题型4 先提取公因式，再用平方差公式例4（沈阳市）分解因式：2m3－8m＝＿＿＿. 分析 对于系数都含有2的因数，对于字母都含有m的因式，于是考虑先提出公因式2 m，由于是两项，剩下的再考虑能否运用平方差公式分解.解 2m3－8m＝2m(m2－4)＝2m(m+2)(m－2).说明 本题是考查用提公因式法和平方差公式分解因式的方法.求解时要注意一提（提公因式）；二用（用平方差公式），即对一个多项式进行分解因式，有公因式的一定要先提取公因式，再考虑运用公式法；一般情况下，因式分解要坚持到有理数范围内每一个因式不能在分解为止.题型5 先提取公因式，再用完全平方公式例5（泰安市）将 x+x3－x2分解因式的结果是＿＿＿.分析 考虑系数 ，且每一项都含有字母x，不如视其公因式为 x，先提出，或许余下的不能套用完全平方公式.解 x+x3－x2＝ x(4x2－4x＋1)＝ x(2x－1)2.说明 对于本题也可以将按字母降幂排列，即x3－x2+ x，再提出公因式x，其结果为x(x－ )2.题型6 确定字母系数例6（赤峰市）把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c＝(x+1)(x+2)，则c的值为（ ）A.2 B.3 C.－2 D.－3分析 由于因式分解是对多项式的恒等变形，所以已知等式的右边利用整式的乘法展开，与左边的对应系数应该相等，由此可以获解.解 因为(x+1)(x+2)＝x2+3x+2，而x2+3x+c＝(x+1)(x+2)，所以x2+3x+c＝x2+3x+2，所以c＝2.故应选A.说明 本题主要考查对因式分解的定义理解与运用.把一个多项式化为几个整式的积过程叫因式分解，显然因式分解是一个恒等变形，它与与整式的乘法是互逆的过程. 题型7 二次三项式的分解例7（青岛市）分解因式：x2+2x－3＝＿＿＿.分析 观察所给的多项式不能直接用提公因式法，也不能用公式法，于是想到利用二次三项式的分解方法，考虑一次项系数是2，则常数项－3分解成－1×3.解 x2+2x－3＝(x+3)(x－1).说明 多项式x2+px+q型的二次三项式是分解因式中的常见题型，此类多项式的分解规律是：如果常数项q可分解为两个因数a、b的积，并且a+b＝p，那么x2+px+q就可分解为(x+a)(x+b).另外，本题也可以利用配方法分解，即x2+2x－3＝x2+2x+1－4＝(x+1)2－4＝(x+1+2)(x+1－2)＝(x+3)(x－1).题型8 因式分解的技巧例8（中山市）分解因式am+an+bm+bn＝＿＿＿.分析 这个多项式共有四项，常规的分解方法在此均失去作用，但考虑若前两项提出a，剩下的是(m+n)，后两项提出b，剩下的也是(m+n)，于是还可以从整体上提出(m+n)，从而达到分解因式的目的.解 am+an+bm+bn＝a(m+n)+b(m+n)＝(a+b)(m+n).说明 因式分解是一种恒等变形，在变形时应讲究适当的方法和技巧.本题中也可以将第一项和第三项结合，第二项和第四项结合，同样达到从整体上分解因式的目的.题型9 先局部分解，再从整体上分解例9（南通市）分解因式：(x+2)(x+4)+x2－4.分析 这个多项式共有三项，无法运用因式分解的方法与技巧，考虑后两项可以运用运用平方差公式，这样可以先把x2－4两项看做一个整体，用平方差公式分解为(x+2)(x－2)，然后再提取公因式，从而达到从整体上分解因式.解 (x+2)(x+3)+ x2－4＝(x+2)(x+3)+(x+2)(x－2)＝(x+2)(x+3+x－2)＝(x+2)(2x+1).说明 本题为了达到分解因式的目的，采取了先局部分解的办法，从而完成整体上的因式分解.题型10 因式分解的应用例10（扬州市）已知x+y＝6，xy＝－3，则x2y+xy2＝＿＿＿.分析 如果求出x和y的值，显然有点不划算，若对待求式分解因式，会收到意想不到的效果.解 因为x2y+xy2＝xy(x+y)，所以当x+y＝6，xy＝－3时，原式＝－3×6＝－18.说明 本题在求值过程中既巩固了因式分解的知识，又运用的整体思想.题型11 开放型例11（遵义市）现有三个多项式： a2+a－4， a2+5a+4， a2－a，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.分析 给定三个多项式，择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解，显然答案不惟一.可先选择两个多项式，将它们相加，再将其结果分解因式.解 答案不唯一.如，( a2+a－4)+ ( a2－a)＝ a2+a－4+ a2－a＝a2－4＝(a+2)(a－2). 说明 本题意在考查整式加减和因式分解.因式分解与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，因此，我们可以利用整式乘法来检验分解因式的结果是否正确.