二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 f(x,y)={cx^2y 0<x<1 0<y<1} 0 其他 求：(1)常数c; (2) P{X<0.5,Y<0.

Question

二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为
f(x,y)={cx^2y 0<x<1 0<y<1}
0 其他

求：(1)常数c; (2) P{X<0.5,Y<0.5}; (3) X的边缘概率密度;
(4) EX; (5) 协方差Cov(X,Y)

Answer 1

（1）∫∫f(x,y)dxdy=1
c∫(0→1)x²dx∫(0→1)ydy=c·1/3·1/2=1 ∴c=6
（2）P{X<0.5,Y<0.5}=∫∫(D)6x²ydxdy
=∫(0→0.5)∫(0→0.5)6x²ydxdy
=6·x³/3|(0→0.5)·y²/2|(0→0.5)
=1/32
（3）fX(x)=∫(0→∞)f(x,y)dy
=∫(0→∞)6x²ydy
=6x²∫(0→1)ydy
=3x²
（4）EX=∫(-∞→+∞)xfX(x)dx
=∫(0→1)3x³dx
=3x⁴/4|(0→1)
=3/4
（5）cov(X,Y)=EXY-EXEY
EXY=∫(-∞→+∞)∫(-∞→+∞)xyf(x,y)dxdy
=∫(0→1)6x³dx∫(0→1)y²dy
=7/6
EY=∫(-∞→+∞)yfY(y)dy=∫(0→1)2y²dy=2/3
∴cov(X,Y)=EXY-EXEY=7/6-1/2=2/3

Answer 2

czx