1/ cosx在x=0处的极限为什么等于1/2？

Question

如题所述

Answer 1

利用等价无穷小定义证明
lim sinx/x=1;(x->0)

1-cosx=2(sin(x/2))
²极限都趋于零

lim (1-cosx)/(x²/2)
= 4 lim (sin(x/2))²/x²

=lim (sin (x/2)/(x/2))^2
=1
所以1-cosx～x²/2
也可以利用泰勒公式展开
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)！
所以1-cosx=x^2/2!-x^4/4!+...(-1)k*x^(2k)/(2k)!
一般情况下展开到二价就可以了，但也有展开到4阶的特殊情况。