积分与路径无关性 是不是要两个偏导相等啊？

Question

可是算出来不一样？？
能不能给一下接下来的步骤？

Answer 1

既然知道积分与路径无关，那就好办了。
记为积分Pdx+Qdy，容易知道aQ/ax=aP/ay。
并且得到原函数为arctan(siny/x)。
但不能直接用这个来计算，因为从原函数表达式可以看出，x=0的点不在定义域内。因此
考虑两个点A(0,1）和B(0，-1）。将曲线分为左半圆从A到B和右半圆从B到A。
于是积分（从A到B）Pdx+Qdy=arctan(siny/x)|上限（0，-1）下限（0,1）。注意，这里
上下限不能直接代入，而是考虑的极限。当点沿着左半圆趋于（0，-1）时，
arctan(siny/x)趋于pi/2（因为此时siny<0，x<0，siny/x>0，趋于正无穷）。
同理arctan(siny/x)沿着左半圆趋于（0,1）时，极限是--pi/2，两者相减
得积分值是pi。类似有右半圆的积分值是pi。
最后得积分值是2pi。
ps: 此题也可以用Green公式，原理其实跟这种做法类似。
有不明白的再问。

Answer 2

Q对x和P对y偏导相等。 请给分！
我算出来偏导也不一样..分母可能有些问题...
一般这种问题都是套格林公式然后注意去掉积分域内的奇点本回答被提问者采纳