已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为45...

Question

已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1．直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为455，且圆心M在直线l的下方． （1）求圆M的方程； （2）设A（t，0），B（t+5，0）（-4≤t≤-1），若AC，BC是圆M的切线，求△ABC面积的最小值．

Answer 1

解：（1）设M（0，b）由题设知，M到直线l的距离是1-(255)2=55…（2分）
所以|-b+2|5=55，解得b=1或b=3…（4分）
因为圆心M在直线l的下方，所以b=1，
即所求圆M的方程为x2+（y-1）2=1…（6分）
（2）当直线AC，BC的斜率都存在，即-4＜t＜-1时
直线AC的斜率kAC=tan2∠MAO=-2t1-1t2=-2tt2-1，
同理直线BC的斜率kBC=-2(t+5)(t+5)2-1…（8分）
所以直线AC的方程为y=-2tt2-1（x-t），
直线BC的方程为y=-2(t+5)(t+5)2-1（x-t-5）…（10分）
解方程组y=-2tt2-1(x-t)y=-2(t+5)(t+5)2-1(x-t-5)
得x=2t+5t2+5t+1，y=2t2+10tt2+5t+1…（12分）
所以y=2t2+10tt2+5t+1=2-2t2+5t+1
因为-4≤t≤-1
所以-214≤t2+5t+1＜-3
所以5021≤y＜83．
故当t=-52时，△ABC的面积取最小值12×5×5021=12521．…（14分）
当直线AC，BC的斜率有一个不存在时，即t=-4或t=-1时，易求得△ABC的面积为203．
综上，当t=-52时，△ABC的面积的最小值为12521．…（16分）