设数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，对于任意正...

Question

设数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，对于任意正整数m，n，Sm+n=√2a2m(1+S2n)-1恒成立． （1）若a1=1，求a2，a3，a4及数列{an}的通项公式； （2）若a4=a2（a1+a2+1），求证：数列{an}成等比数列．

Answer 1

解（1）由Sm+n=√2a2m(1+S2n)-1得1+Sm+n=√2a2m(1+S2n)．
令m=1，得1+Sn+1=√2a2(1+S2n)①
令m=2，得1+Sn+2=√2a4(1+S2n)②
②÷①得：1+Sn+21+Sn+1=√a4a2 （n∈N*）．记√a4a2=q，
则数列{1+Sn}
（n≥2，n∈N*）是公比为q的等比数列．
∴1+Sn=(1+S2)qn-2 （n≥2，n∈N*）③．
n≥3时，1+Sn-1=(1+S2)qn-3④．
③-④得，an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N*）．
在1+Sm+n=√2a2m(1+S2n)中，令m=n=1，得1+S2=√2a2(1+S2)．
∴(1+S2)2=2a2(1+S2)．
则1+S2=2a2，∴a2=1+a1．
∵a1=1，∴a2=2．
在1+Sm+n=√2a2m(1+S2n)中，令m=1，n=2，得1+S3=√2a2(1+S4)．
则(4+a3)2=4(4+a3+a4)⑤
在1+Sm+n=√2a2m(1+S2n)中，令m=2，n=1，得1+S3=√2a4(1+S2)
则(4+a3)2=8a4⑥．
由⑤，⑥，解得a3=4，a4=8．
则q=2，由an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N*），
得：an=4×2n-3(2-1)=2n-1
∵a1=1，a2=2也适合上式，∴an=2n-1．
（2）在1+Sm+n=√2a2m(1+S2n)中，令m=2，n=2，得1+S4=√2a4(1+S4)
则1+S4=2a4，∴1+S3=a4．
在1+Sm+n=√2a2m(1+S2n)中，令m=1，n=2，得1+S3=√2a2(1+S4)．
则1+S3=√2a2(1+S3+a4)，∴a4=√2a2×2a4．
则a4=4a2，∴q=√a4a2=2．
代入an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N*），
得an=(1+S2)2n-3 （n≥3，n∈N*）．
由条件a4=a2（a1+a2+1），得a1+a2+1=4．
∵a2=a1+1，a1=1，∴a2=2．
则an=4×2n-3=2n-1
∵a1=1，a2=2上式也成立，
∴an=2n-1 （n∈N*）．
故数列{an}成等比数列．