第1个回答 2012-08-19
§1 图论的著名问题与历史
图论是数学中一个既古老又年轻的数学分支．欧拉1736年关于哥尼斯堡七桥问题论文的发表标志着图论的诞生．自二十世纪五十年代开始，由于运筹学、计算机科学的促进，以及应用领域的扩大，图论已成为一个独立的数学分支．特别在近三十年，图论正经历着一个蓬勃发展的时期，表现出年轻学科所具有的强大生命力．
一. 图论中的几个著名问题
例1.哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡历史上曾是德国东普鲁士的省会，第二次世界大战后归苏联所有，也
就是现在的加里宁格勒市.普列格尔（Pregel）河穿城而过，河中有两个小岛，岛与河岸及岛与岛之间有七座桥.当时流行很广的一个难题是：能否从河岸或两个小岛中的任一处出发，经过每一座桥一次且仅一次再回到出发地呢？这个问题被瑞士数学家欧拉解决了.如下图所示，A、B、C、D表示陆地.
1736年，欧拉（1707-1783）在俄国彼得堡科学院院报上发表了一篇论文.他在论文中引进了图的概念和方法，用抽象分析法将这个问题化为第一个图论问题：即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用联接相应的两个点的一条线来代替，从而相当于得到一个「图」，将七桥问题转化为一笔画问题.欧拉证明了这个问题没有解——这是由于此「图」与每个顶点相关联的边数均为奇数，并且推广了这个问题.给出了对于一个给定的图可以某种方式一笔画的判定法则.这项工作使欧拉成为图论﹝及拓扑学﹞的创始人.
引深：图G是欧拉图的充要条件是什么？
例2．哈密尔顿多面体问题
1856年英国数学家哈密尔顿（1790-1868）提出了这样一个问题：用一个规则的实心十二面体，它的二十个顶点标出世界著名的二十个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好一次的闭回路，即「绕行世界」.用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出一个包含所有顶点的圈.这个问题后来就叫做哈密顿问题.由于运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为哈密顿问题，从而引起广泛的注意和研究.
引深：什么图是哈密尔顿图呢？其判定条件如何？
例3.四色问题
在一个平面或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家有相同的颜色.每个国家必须由一个单连通域构成，而两个国家相邻是指它们有一段公共的边界，而不仅仅只有一个公共点.四色猜想有一段有趣的历史.每个地图可以导出一个图，其中国家都是点，当相应的两个国家相邻时这两个点用一条线来连接.所以四色猜想是图论中的一个问题.它对图的着色理论、平面图理论、代数拓扑图论等分支的发展起到推动作用.
问题转化为：给平面图G的顶点着色，使任一对相邻顶点具有不同的颜色，那么至少要多少种颜色？
1852年，英国的弗兰西斯提出了四色问题；1878年凯莱在伦敦数学会宣布了此问题，引起了数学界的广泛重视.肯佩和泰特分别与1879年和1880年发表文章，声明证明了四色问题；11年后，希伍德于1890年指出了肯佩证明中的错误，却利用肯佩的方法证明了五色定理；1891年彼得森又指出了泰特证明中的错误，却利用泰特的方法证明了四色猜想的一个等价命题.世界上许多数学家为四色猜想倾注了大量心血.经过一百多年后，这个貌似简单的四色猜想被美国的阿佩尔和哈肯于1976年借助于电子计算机给出了证明.他们的证明用计算机大约需要1200小时，要作出100亿个独立的逻辑判断！他们的工作无疑具有开创性，是值得称赞的.给出四色定理一个无需借助于计算机的证明乃是一个未能解决的问题.
二、图论发展简史
1736年，欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的论文的发表，人们普遍认为图论由此诞生.
1847年，德国数学家、物理家克希荷夫应用图论方法来分析电网络，奠定了现代网络理论的基础.
1852年，佛兰西斯提出了四色猜想，引起了数学界的广泛注意，使许多数学家对图论产生了浓厚的兴趣，极大地推动着图的着色理论的发展.
1856年，爱尔兰数学家哈密尔顿提出了正十二面体游戏问题，引出了哈密尔顿的理论.
1857年，英国数学家凯莱在研究饱和碳氢化合物的同分异性体时，发现了“树”的概念和理论，并由此预见了未知化合物的存在.
1936年，匈牙利数学家哥尼科，总结前人的成果，发表了第一部图论专著《有限图和无限图的理论》.
自二十世纪五十年代开始，由于运筹学、计算机的促进以及应用领域的扩大，图论已成为了一个独立的数学分支.特别在近二十年，图论正经历着一个蓬勃发展的时期，表现出年轻学科所具有的强大生命力.许多大学的系，如数学系、计算机科学系、运筹系、组合优化系、电机系等都开设了图论这门课.图论是一门应用广泛的数学分支，它不但在自然科学的许多领域有重要的应用，还应用于社会科学的诸多方面.许多实际问题（离散）所建立的数学模型就是一个图论模型.图论不但与大学生数学建摸竞赛联系甚紧，而且在中小学数学竞赛中经常出现来源于图论的题目.
§2 图 的 基 本 概 念
一. 无向图、有向图、子图
1. （无向）图 无向图是指三元组，其中是一个非空集合，称为顶点集；是任意集合，称为边集；是到的映射，记作或．
在E中重复次的边称为重边；两端点重合的边称为环．
2. 有向图 有向图是指三元组，其中是非空顶点集，是边的集合，是到的映射,记作或．
有向图与无向图的差别仅在于中元素是中元素的有序对还是无序对．然而，无序对可以视为两个有序对和．也就是说，对于无向图，将中每条边用两条与有相同端点的对称边和来替代后得到一个有向图，这样得到的有向图称为的对称有向图．于是无向图可以视为特殊的有向图.例如，城市交通中，双行道可以视为对开的两个单行道．以下我们只对无向图来叙述．
图可以画出它的直观图形，称为此图的图形表示．
3.简单图 无重边也无环的无向图称为简单图．
4.子图
如果，那么图称为图的子图，记作．
如果是的子图，且，则称是的生成子图或支撑子图．
若，则子图称为由导出子图，记为．
设，记的导出子图为．
设，是中的边的所有端点所成的集，则的子图称为由导出的子图，记为，又记．
两个图可以引入交、并、联的运算．
二. 顶点的度
1.设是图，，中与关联的边数（重边按重数计）称为顶点的度，记作．
为奇（偶）顶点为奇（偶）数．
2.对于有向图，可定义出度与入度．
3.结论
① 握手引理：设是任意图，则．
② 任意一个图的奇顶点的个数是偶数．
三. 正则图、完全图、二部图．
1. 若，有（常数），则称为正则图．
2. 设，则的任意两顶点均邻接的简单图称为阶完全图，记为．
3. 是单点图；是空图
4. 若图的顶点集有一个划分，且是空图，则称是（具有二划分的）二部图，记作，二部图亦称为偶图．
对于简单二部图，若的任一顶点与的任意顶点都相邻，则称为完全二部图，记为，其中．（m*n)条边
§3 路 与 连 通 性
一. 链、迹、路、圈
链 图的链是中顶点与边交替出现的有序序列.称为起点，称为终点，中边的条数称为的长度．
迹 图中任意两边均不相同的链称为迹．
路 图中任意两顶点均不相同的链称为路，显然，路必是迹，但反之不然．
在上面的链、迹、路中，当起点与终点重合时，分别称为闭链、闭迹、闭路．闭路亦称为圈，圈的长度定义为其中边的条数，长度为奇数的圈称为奇圈；长度为偶数的圈称为偶圈．
二部图的刻划：图为二部图中不含奇圈．
二. 连通与连通分解
考虑图，设，若存在与间的路，则称与是连通的．若图的任意两顶点都连通，则称为连通图．
任意图均可表成若干个两两顶点不重复，边也不重复的连通子图的并，这些连通子图称为的连通分支，的连通分支数记为．
考虑有向图，可定义的有向路．
若有向路中，，存在到的有向路或存在到的有向路，则称是单向连通的．
若有向图中，，既存在到的有向路又存在到的有向路，则称是强连通的．
有向图的顶点集中元素之间的强连通关系是上元间的等价关系．由这种关系得到的等价类在中导出子图称为的强连通分支．的强连通分支数记为．若，则称为强连通图，反之，称为非强连通图．
三.可靠通信网问题
在战争状态，我方要构作一个有线通讯网，使得敌方炸毁我方几个通讯站后，其余的通讯仍然可以彼此通话，自然希望不怕被敌方炸毁的通讯站要尽可能多.但限于施工的条件、时间、造价等.要每两个通讯站间均架设直通线路是有困难的，那么满足一定可靠程度的通讯网该如何构作呢？这就涉及到一个连通度、边连通度问题.若图G中存在不相邻的顶点，则使G—不连通. 称为图G的顶点割.
图G的连通度定义为：
设S与是V的非空子集，用表示图G中一端属于S，一端属于的一切边所构成的边集.特别地当，S,而.则称是G的边割.
对于一个非平凡连通图G，去掉其中任何一个边割后得到的图必不连通.于是可定义图G的边连通度如下：
四.通知球员问题
某足球俱乐部职业队新聘A为主教练，A确定了全队队员名单，需通知所有队员到俱乐部报到，A通知每一名队员所需费用不同，A知道有的队员可以转告其他队员．
A通知每个队员的费用（元）及可以转告队员名单
费 用 5 6 4 12 10 7 8 5 0.5 10 4 3
可 转 告 队 员 — —
问：A应通知哪些队员，使费用最少？
我们用图的顶点来表示全队n名队员．若可以直接转告，则连以有向边，A通知所需的费用为，记作顶点所带的权，这就得到一个顶点赋权有向图，于是，问题转化为求的顶点集的一个子集，满足：（1），有或者有，使中存在到的有向路；（2）所含的顶点数最少；（3）中顶点的权和最少．这就是通知球员问题的图论模型．
设D=是有向图，,若,都有或者存在,使中存在到的有向路，则称是的一个点基．中含顶点数最小的点基称为最小点基．又设是顶点赋权有向图，是顶点的权，是的点基，则称为的权，于是通知球员问题的解就是相应有向图的具有最小权的最小点基．
设是的一个强连通分支，若中不存在终点在中而始点不在中的有向边，则称是的一个最高强连通分支．
由最高强连通的定义，可以证明：从中的每一个最高强连通分支中各任取一个顶点，所组成的集合就是的一个最小点基，并取一个最小权的顶点．
（求出强连通分支，后代集，前代集，）
五.最短路问题
考虑n个城市的公路网络，试求一个城市到其余各城市的最短路．
以城市为顶点，公路为边，得到一个图，每条公路都有长度（公里数），这样，给赋以一个实数称为的权，于是得到一个赋权图，设，路的权（或子图的权）为其各边的权和，试求到的权和最小的路，亦称为最短路．
求最短路的算法——Dijkstra算法：
(i) 令，又令
(ii) 对每个，用代替，计算，把达到这个最小值的顶点记为，令
(iii) 若，则停止；若，则用代替，转向（ii）．
例1：求下图中到各顶点的最短路．
例2: 求天然气管道最优路径
筹建中的天然气管道网设计如图所示：
表示压缩机站，流动主向用箭头表示，每个管道旁的数字表示管段长度，现需要求该网络从起点A到终点L的最短通道，并确定沿最优路径相应的压缩机站所处的节点．
解为：