各位帮帮忙啊~我要第31届(1990年，中国)国际奥数竞赛试题

Question

急需这届的数学题额~
第31届(1990年，中国) * 团体总分第一
周 彤 （男） 湖北武汉武钢三中 金牌 北京大学
汪建华 （男） 陕西汉中西乡一中 金牌 南开大学
王 菘 （男） 湖北黄冈中学 金牌 北京大学
余嘉联 （男） 安徽铜陵一中 金牌 清华大学
张朝晖 （男） 北京四中 金牌 北京大学
库 超 （男） 湖北黄冈中学 银牌 北京大学
有没有题的答案额~

Answer 1

第31届国际数学奥林匹克竞赛试题（1990）
1、 设圆内两弦AB，CD交于圆内一点E．在直线段EB的内部取一点M，然后过点D、E、M作圆，再过E作此圆的切线分别交

（本题由印度提供．）
2、设n≥3．考虑在同一圆周上的2n-1个互不相同的点所成的集合E．将E中一部分点染成黑色，其余的点不染颜色．如果至少有一对黑点，以它们为端点的两条弧中有一条的内部（不包含端点）恰含E中n个点，则称这种染色方式为好的．如果将E中k个点染黑的每一种染色方式都是好的，求k的最小值．
（本题由捷克提供．）
3、求出（并予以证明）所有大于1的整数n ，使 为整数.（本题由罗马尼亚提供）
4、Q+是全体正有理数所成的集合．试作一个函数f：Q+→

（本题由土耳其提供．）
5、给定一个初始整数n0＞1后，两名选手A、 B按以下规则轮流取整数n1，n2，n3，…：

素数的正整数幂．
若A取到1990，则A胜．若B取到1，则B胜．
对怎样的初始值n0，（1）A有必胜策略；（2）B有必胜策略；（3）双方均无必胜策略？
（本题由原西德提供．）

6、证明存在一个凸1990边形，同时具有下面的性质（1）与（2）：
（1）所有的内角均相等．
（2）1990条边的长度是12，22，…，19892，19902的一个排列．
（本题由荷兰提供．）
*设a、b、c、d是满足
ab+bc+cd+da=1
的非负数．试证：

（第三十一届（1990年）IMO预选题88．本题由泰国提供．）